Mencari invers f(x) = √(4x-4)

Pada soal ini kita akan mencari invers dalam bentuk akar. Sulitkah jawabannya?

Ok...

Kita buktikan di bawah ini.

Tujuan dari invers adalah:

Membalik persamaan, yang sebelumnya berbentuk y sekarang dicari dalam bentuk x.

Saat mengerjakan invers, f(x) diganti dengan y agar mempermudah perhitungan.

Contoh soal

Ayo langsung coba contoh soalnya.

Soal :

1. Carilah invers dari fungsi berikut: 

Tulis lagi persamaannya atau fungsinya.

• f(x) bisa diganti dengan "y"

• Kuadratkan kedua ruas
• Tujuannya untuk membebaskan x dari bentuk akar
• Karena kita ingin mencari persamaan dalam bentuk x

Kemudian:

• Bentuk akar di ruas kanan hilang karena sudah dikuadratkan

• Pindahkan -4 ke ruas kiri menjadi +4
• Untuk mendapatkan x, maka yang di ruas kiri harus dibagi dengan 4

• Sekarang buat x di ruas kiri.
• Selanjutnya, ganti x dengan y dan ganti y dengan x

Selesai...

Kita sudah menemukan invers dari persamaan yang dicari.

Bagaimana, sudah paham proses pencarian invers?

Kita harus mencari persamaan dalam bentuk x, selanjutnya ganti x dengan y dan y dengan x.

Soal kedua

Soal :

2. Hitunglah invers dari fungsi berikut: 

Langkahnya masih sama dengan soal pertama.

• Ganti f(x) dengan y agar lebih mudah dikerjakan

• Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan bentuk akar di ruas kanan
• Sehingga x tidak memiliki bentuk akar lagi.

• Bentuk akar hilang karena dikuadratkan
• Sekarang pindahkan +4 ke ruas kiri menjadi -4
• Untuk mendapatkan x, maka akarkan yang di ruas kiri

Sekarang tulis x di ruas kiri.

Setelah mendapatkan persamaan dalam bentuk x, selanjutnya:

• Ganti x dengan y
• Ganti y dengan x

Nah.. 

Inilah invers dari persamaan di atas.

Soal integral : ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx

Menyelesaikan soal di atas bisa dilakukan dengan permisalan. Cara permisalan ini jauh lebih mudah dan mempersingkat waktu pengerjaan.

Konsep soal

Ada beberapa tips penting jika menyelesaikan soal integral semacam ini.

Perhatikan:

• Jika ada dua tanda kurung dalam integral, pilih suku di dalam tanda kurung dengan pangkat lebih tinggi.
• Misalkan suku-suku tersebut dengan variabel.
• Setelah itu, turunkan suku tersebut.

Kita praktekkan langkah di atas langsung ke dalam soal agar lebih paham ya.

Soal pertama

Ayo...

Langsung saja kita coba soalnya.

Soal:

1. Hitunglah integral ini : ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx

Langkah pengerjaan soalnya adalah:

• Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi
• Memisalkan dan menurunkan suku tersebut
• Melakukan pengintegralan

---

Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi

---

Mari lihat lagi soalnya.

= ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx 

Ada dua kumpulan suku di dalam kurung:

• (2x-2)
• (x²-2x+2)²

Kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi adalah (x²-2x+2)².

Inilah yang akan kita misalkan dengan variabel.

---

Memisalkan kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi

---

Misalkan kumpulan suku tersebut.

Misalkan dengan "U"

U = x²-2x+2

• Yang dimisalkan hanya kumpulan sukunya saja.
• Pangkatnya tidak ikut ya, pangkat yang di luar kurung

Selanjutnya kita turunkan kumpulan suku ini.

U = x²-2x+2

^dU/_dx = 2x - 2

Selanjutnya kita bisa kalikan dx dengan (2x-2) untuk mendapatkan dU.

dU = (2x-2) dx.

---

Mengintegralkan soal

---

Sekarang kita langsung integralkan soalnya.

= ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx 

• Kita ubah susunannya sedikit
• (2x-2) dibawa ke belakang

= ∫(x²-2x+2)² (2x-2)dx 

• Dari langkah pertama kita sudah mendapatkan beberapa data.
• U = (x²-2x+2)
• dU =(2x-2)dx

= ∫(x²-2x+2)² (2x-2)dx

• Yang warna merah kita ganti dengan U
• Warna oranye diganti dengan dU
• Perhatikan permisalan di atas

= ∫(U)² dU

• Soalnya menjadi lebih sederhana sekarang dan mudah di integralkan

= ¹∕₃U³+C

• Sekarang ganti U dengan x²-2x+2
• Sehingga integral kita tidak ada variabel U lagi.

= ¹∕₃(x²-2x+2)³+C

Nah...

Inilah hasilnya.

Soal kedua

Kita coba lagi soal kedua agar lebih paham ya.

Soal:

2. Carilah nilai integral berikut : ∫ 4x(2x²-2)³ dx

Masih menggunakan langkah yang sama seperti soal pertama.

• Tentukan suku dengan pangkat lebih tinggi
• Misalkan suku tersebut
• Terakhir masuk ke pengintegralan

---

Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi

---

Cek lagi soalnya.

= ∫ 4x(2x²-2)³ dx

Kumpulan sukunya adalah:

• 4x
• (2x²-2)³
• Kita pilih (2x²-2) karena memiliki pangkat lebih tinggi, yaitu pangkat 3.
  Nanti (2x²-2) yang dimisalkan dengan U

---

Memisalkan kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi

---

Kita sudah peroleh yang dimisalkan dengan U, yaitu (2x²-2)

U = 2x²-2

• Yang dimisalkan hanya kumpulan sukunya saja.
• Pangkatnya tidak ikut ya, pangkat yang di luar kurung.

Selanjutnya kita turunkan kumpulan suku ini.

U = 2x²-2

^dU/_dx = 4x

Lanjutkan dengan mengalikan 4x dengan dx untuk mendapatkan dU

Ini disebut perkalian silang.

dU = 4x.dx.

---

Mengintegralkan soal

---

= ∫4x(2x²-2)³ dx

• Atur ulang posisi soalnya.
• 4x dipindah di belakang dekat dengan dx untuk memudahkan perhitungan.

= ∫(2x²-2)³.4x.dx

• Ganti warna merah dengan U
• Ganti warna biru dengan dU

= ∫(U)³ dU

• Sekarang integralkan

= ¹∕₄U⁴ + C

• Ganti U = 2x²-2

= ¹∕₄(2x²-2)⁴ + C

Inilah integral soal kedua.