Home Posts filed under SMA
Showing posts with label SMA. Show all posts
Showing posts with label SMA. Show all posts

Diketahui f(x) = 3x - 5 dan g(x) = 4-2x. Carilah hasil dari fungsi komposisi f[g(x)]!

✔ de eka sas Comment
Untuk mendapatkan komposisi dari dua fungsi, harus dipahami dulu bagaimana caranya atau konsep yang berlaku.

Sekilas, komposisi kok terlihat rumit. 


Tetapi dengan memahami konsepnya, kita bisa menemukan komposisi yang dimaksud tanpa kebingungan.


Konsep soal

Baik...
Sebelum masuk ke soalnya, kita pahami dulu arti dari fungsi komposisi. Bagaimana aturan yang berlaku.

Misalkan ada fungsi :
  • f(x) = ax + b
  • g(x) = px + q

Perhatikan :
  1. f[x]
  2. f[g(x)]
Perhatikan kedua fungsi di atas.
Setiap x yang ada pada fungsi f(x) diganti dengan g(x), yang diwarna merah.

Untuk lebih lengkapnya, perhatikan lagi di bawah.

f(x) = ax+b
f[g(x)] = a.[g(x)] + b
  • Jika x warna merah diganti g(x) warna merah, maka x warna oranye pada f(x) juga diganti dengan g(x).
f[px+q] = a.[px+q] + b
  • ganti g(x) dengan px+q

f[px+q] = apx + aq + b

Nah...
Inilah hasil dari komposisi f[g(x)].

Soal pertama

Baik...
Mari kita coba soalnya.


Soal :

1. Diketahui f(x) = 3x-5 dan g(x) = 4-2x. Hitunglah hasil dari komposisi f[g(x)]!


Ok...
Menggunakan konsep soal di atas, sekarang kita coba kerjakan soal ini.

Diketahui :
  • f(x) = 3x-5
  • g(x) = 4-2x
Kita mulai perhitungannya.

Karena ditanya f[g(x)], berarti kita gunakan f(x)

f(x) = 3x-5

  • f[g(x)] berarti setiap nilai x pada f(x) diganti dengan g(x).

f[g(x)] = 3{g(x)} - 5
  • Perhatikan, x yang di warna merah diganti dengan g(x).
  • Sudah paham ya??
Selanjutnya...
  • Ganti g(x) dengan 4-2x
f[g(x)] = 3{4-2x} - 5
  • Untuk membuka kurung 3{4-2x}, langkahnya :
    Kalikan 3 dengan semua suku di dalam kurung
    Kalikan 3 dengan 4 menjadi = 12
    Kalikan 3 dengan -2x = -6x
f[g(x)] = 12 - 6x - 5
  • 12 bisa dijumlahkan dengan -5
  • Sedangkan -6x tetap karena tidak ada kawan yang memiliki x lagi
f[g(x)] = 12-5-6x

f[g(x)] = = 6-6x

Nah...
Inilah hasil dari f[g(x)], yaitu 6-6x



Soal kedua

Sekarang kita lanjutkan dengan soal kedua, komposisnya di balik. Tetapi langkah-langkahnya masih sama seperti soal pertama.


Soal :

2. Diketahui f(x) = 3x-5 dan g(x) = 4-2x. Komposisi g[f(x)] adalah...


Yang ditanya adalah komposisi g(x) terhadap f(x).

g(x) = 4-2x

  • Karena ditanya komposisi g(x), maka kita tulis persamaan g(x) dulu.
g[f(x)] = 4-2[f(x)]
  • g[f(x)] artinya setiap nilai x pada g(x) diganti dengan f(x).
  • Sehingga x warna merah pada g(x) diganti dengan f(x)
Kemudian :
  • Ganti f(x) = 3x-5
g[f(x)] = 4-2[3x-5]
  • Untuk membuka "-2[3x-5]", maka :
    Kalikan -2 dengan  3x = -6x
    Kalikan -2 dengan -5 = +10
g[f(x)] = 4 - 6x + 10
  • 4 bisa dijumlahkan dengan +10 menjadi + 14
g[f(x)] = 14 - 6x

Inilah hasil dari komposisi g(x) terhadap f(x) atau ditulis g[f(x)] = 14 - 6x

Bagaimana, sudah paham ya?

Soal ketiga

Kita coba soal ketiga agar lebih paham ya.

Soal :

3. Carilah komposisi h[b(x)] jika diketahui h(x) = 4x + 2 dan b(x) = 3-4x!


Tulis fungsi yang diketahui :
  • h(x) = 4x+2
  • b(x) = 3-4x

Karena ditanya h[b(x)], maka kita gunakan fungsi h(x).

h(x) = 4x + 2

h[b(x)] = 4[b(x)] + 2
  • h[b(x)] artinya x warna merah pada h(x) diganti dengan b(x)
  • ganti b(x) = 3-4x
h[b(x)] = 4[3-4x] + 2
  • Membuka kurung 4[3-4x] adalah mengalikan 4 dengan setiap suku pada kurung
    4 dikali dengan 3 = 12
    4 dikali dengan -4x = -16x
h[b(x)] = 12 - 16x + 2
  • 12 dan + 2 bisa dijumlahkan menjadi 14
h[b(x)] = 14 - 16x

Inilah komposisi dari h[b(x)].


Baca juga ya :

Nilai sin²A = ⁹∕₁₀. Hitunglah tan A jika A adalah sudut lancip!

✔ de eka sas Comment
Kita membahas trigonometri kembali. Kali ini diketahui nilai dari sin²A dan diminta menemukan tan A.
Terasa susah?


Tenang...
Kita bahas soal ini dengan baik dan perhatikan apa saja langkah-langkahnya sehingga bisa mendapatkan jawaban yang tepat.

Konsep soal

Sebelum menjawab soalnya, kita perhatikan dulu rumus apa saja yang berhubungan dengan soal ini. Rumus-rumus ini perlu dihafal karena memudahkan kita dalam menjawab berbagai soal trigonometri.

sin²x + cos²x = 1 ...①

tan x = sin x/cos x ...②

Itulah dua rumus yang membantu kita dalam menyelesaikan soal ini. Kita gunakan dulu persamaan ① untuk mendapatkan cos, setelah itu baru masuk ke persamaan ②.

Soal

Ok...
Sekarang kita coba soalnya. Perhatikan langkah-langkahnya sampai menemukan jawaban yang benar.

Soal :

1. Nilai dari sin²A = ⁹∕₁₀, hitunglah nilai dari tan A jika A adalah sudut lancip!


Baik..
Kita kerjakan soalnya.


Mencari cos A

Gunakan persamaan ①.

sin²x + cos²x = 1

Bisa ditulis :

sin²A + cos²A = 1
  • sin²A = ⁹∕₁₀ (diketahui pada soal)
⁹∕₁₀ + cos²A = 1
  • Pindahkan ⁹∕₁₀ ke ruas kanan sehingga menjadi -⁹∕₁₀
cos²A = 1-⁹∕₁₀
  • Samakan penyebut dari 1 agar menjadi 10
  • Sehingga 1 bisa dibuat menjadi ¹⁰∕₁₀
cos²A = ¹⁰∕₁₀-⁹∕₁₀

cos²A = ¹∕₁₀
  • Untuk mendapatkan cos A, akarkan ¹∕₁₀
cos A = √(¹∕₁₀)


Mencari sin A

Pada soal diketahui :
  • sin²A = ⁹∕₁₀
Kita cari nilai sin A.

sin²A = ⁹∕₁₀
  • Untuk mendapatkan sin A, maka ruas di sebelahnya harus diakarkan.
  • Akarkan ⁹∕₁₀
sin A = √(⁹∕₁₀)


Mencari tan A

Nah...
Nilai dari sin A dan cos A sudah diketahui dan sekarang kita dengan mudah bisa mencari nilai dari tan A.

Tan adalah hasil pembagian dari sin dan cos.

  • sin A = √(⁹∕₁₀)
  • cos A = √(¹∕₁₀)

  • Karena pembilang dan penyebut sama-sama punya akar, akarnya bisa dijadikan satu seperti di bawah.


  • Kita ubah menjadi tanda bagi agar mudah dikerjakan.


  • Tanda bagi diubah menjadi perkalian, sedangkan pecahan di belakangnya, yaitu¹∕₁₀  ditukar posisinya menjadi ¹⁰∕₁
Sehingga kita dapatkan nilai tan A adalah 3.

Cara lain

Ini alternatif pengerjaan soalnya dan masih menggunakan data dari perhitungan di atas. Sebelumnya kita sudah mengetahui :
  • sin²A = ⁹∕₁₀
  • cos²A = ¹∕₁₀
Di sini kita tidak perlu mencari sin A dan cos A, tetap gunakan yang dalam bentuk kuadrat.

Langkahnya seperti ini.


  • Ingat, tan adalah hasil pembagian dari sin dan cos
  • Kuadratkan semuanya dan menjadi bentuk di atas.
Selanjutnya masukkan nilai sin² dan cos².

  • Biarkan persamaan dalam bentuk kuadrat
  • Bentuk pecahan diubah menjadi pembagian
  • Tanda bagi diubah menjadi kali sehingga pecahan di belakangnya menjadi 10/1



Nah, kita mendapatkan tan A = 3.
Hasilnya sama dengan cara di atas.

Silahkan pilih, langkah mana yang lebih disukai.

Tips!
Dalam soal diketahui kalau sudutnya lancip, berarti sudut ini terletak di kuadran I. Yang artinya nilai sin dan cos adalah positif. Karena nilai sin dan cos positif, maka tan juga positif.

Ingat lagi sifat-sifat seperti ini ya, sehingga tidak terjebak soal dan salah dalam menjawab.


Soal :

2. Cos²A = ⁸∕₁₀, hitunglah nilai dari tan A jika A adalah sudut tumpul!


Dalam soal diketahui :
  • cos²A = ⁸∕₁₀

Mencari sin²A

Langsung saja gunakan cara yang kedua di atas, biarkan bentuk sin dan cos dalam kuadrat. Pengubahan di akhir saja.

Gunakan dulu sifat pertama.

sin²A + cos²A = 1
  • cos²A = ⁸∕₁₀

sin²A + ⁸∕₁₀ = 1
  • Pindahkan ⁸∕₁₀ ke ruas kanan menjadi -⁸∕₁₀
sin²A = 1 - ⁸∕₁₀
  • 1 diubah menjadi ¹⁰∕₁₀ agar penyebutnya sama

sin²A = ¹⁰∕₁₀ - ⁸∕₁₀

sin²A = ²∕₁₀


Mencari tan A

Kita sudah mendapatkan :
  • sin²A = ²∕₁₀
  • cos²A = ⁸∕₁₀


  • Ubah bentuk pecahan menjadi pembagian


Terus, karena sudut A terletak di kuadran kedua (sudut tumpul), maka sin positif dan cos negatif. Sehingga tan-nya menjadi negatif.

Tan A yang sebenarnya adalah -½ 

Tan A = -½ 

Bagaimana, sudah mengerti kan cara mencari tan A jika diketahui sin kuadrat atau cos kuadratnya? Mudah kan?
Silahkan ulangi lagi soalnya, pahami caranya dan bagaimana jawabannya bisa diperoleh.


Baca juga ya :

Mencari invers f(x) = √(4x-4)

✔ de eka sas Comment
Pada soal ini kita akan mencari invers dalam bentuk akar. Sulitkah jawabannya?
Ok...
Kita buktikan di bawah ini.


Tujuan dari invers adalah:
Membalik persamaan, yang sebelumnya berbentuk y sekarang dicari dalam bentuk x.

Saat mengerjakan invers, f(x) diganti dengan y agar mempermudah perhitungan.

Contoh soal

Ayo langsung coba contoh soalnya.


Soal :

1. Carilah invers dari fungsi berikut: 


Tulis lagi persamaannya atau fungsinya.


  • f(x) bisa diganti dengan "y"

  • Kuadratkan kedua ruas
  • Tujuannya untuk membebaskan x dari bentuk akar
  • Karena kita ingin mencari persamaan dalam bentuk x

Kemudian:
  • Bentuk akar di ruas kanan hilang karena sudah dikuadratkan

  • Pindahkan -4 ke ruas kiri menjadi +4
  • Untuk mendapatkan x, maka yang di ruas kiri harus dibagi dengan 4

  • Sekarang buat x di ruas kiri.
  • Selanjutnya, ganti x dengan y dan ganti y dengan x
Selesai...
Kita sudah menemukan invers dari persamaan yang dicari.



Bagaimana, sudah paham proses pencarian invers?
Kita harus mencari persamaan dalam bentuk x, selanjutnya ganti x dengan y dan y dengan x.

Soal kedua

Soal :

2. Hitunglah invers dari fungsi berikut: 



Langkahnya masih sama dengan soal pertama.


  • Ganti f(x) dengan y agar lebih mudah dikerjakan

  • Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan bentuk akar di ruas kanan
  • Sehingga x tidak memiliki bentuk akar lagi.



  • Bentuk akar hilang karena dikuadratkan
  • Sekarang pindahkan +4 ke ruas kiri menjadi -4
  • Untuk mendapatkan x, maka akarkan yang di ruas kiri

Sekarang tulis x di ruas kiri.


Setelah mendapatkan persamaan dalam bentuk x, selanjutnya:
  • Ganti x dengan y
  • Ganti y dengan x



Nah.. 
Inilah invers dari persamaan di atas.

Soal integral : ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx

✔ de eka sas Comment
Menyelesaikan soal di atas bisa dilakukan dengan permisalan. Cara permisalan ini jauh lebih mudah dan mempersingkat waktu pengerjaan.


Konsep soal

Ada beberapa tips penting jika menyelesaikan soal integral semacam ini.
Perhatikan:
  • Jika ada dua tanda kurung dalam integral, pilih suku di dalam tanda kurung dengan pangkat lebih tinggi.
  • Misalkan suku-suku tersebut dengan variabel.
  • Setelah itu, turunkan suku tersebut.
Kita praktekkan langkah di atas langsung ke dalam soal agar lebih paham ya.

Soal pertama

Ayo...
Langsung saja kita coba soalnya.


Soal:

1. Hitunglah integral ini : ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx


Langkah pengerjaan soalnya adalah:
  • Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi
  • Memisalkan dan menurunkan suku tersebut
  • Melakukan pengintegralan

Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi

Mari lihat lagi soalnya.

= ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx 

Ada dua kumpulan suku di dalam kurung:
  • (2x-2)
  • (x²-2x+2)²
Kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi adalah (x²-2x+2)².
Inilah yang akan kita misalkan dengan variabel.


Memisalkan kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi

Misalkan kumpulan suku tersebut.
Misalkan dengan "U"

U = x²-2x+2
  • Yang dimisalkan hanya kumpulan sukunya saja.
  • Pangkatnya tidak ikut ya, pangkat yang di luar kurung
Selanjutnya kita turunkan kumpulan suku ini.

U = x²-2x+2

dU/dx = 2x - 2

Selanjutnya kita bisa kalikan dx dengan (2x-2) untuk mendapatkan dU.

dU = (2x-2) dx.


Mengintegralkan soal

Sekarang kita langsung integralkan soalnya.

= ∫(2x-2)(x²-2x+2)² dx 

  • Kita ubah susunannya sedikit
  • (2x-2) dibawa ke belakang
= ∫(x²-2x+2)² (2x-2)dx 
  • Dari langkah pertama kita sudah mendapatkan beberapa data.
  • U = (x²-2x+2)
  • dU =(2x-2)dx
= ∫(x²-2x+2)² (2x-2)dx

  • Yang warna merah kita ganti dengan U
  • Warna oranye diganti dengan dU
  • Perhatikan permisalan di atas
= ∫(U)² dU

  • Soalnya menjadi lebih sederhana sekarang dan mudah di integralkan
= ¹∕₃U³+C
  • Sekarang ganti U dengan x²-2x+2
  • Sehingga integral kita tidak ada variabel U lagi.

= ¹∕₃(x²-2x+2)³+C

Nah...
Inilah hasilnya.


Soal kedua

Kita coba lagi soal kedua agar lebih paham ya.

Soal:

2. Carilah nilai integral berikut : ∫ 4x(2x²-2)³ dx


Masih menggunakan langkah yang sama seperti soal pertama.
  • Tentukan suku dengan pangkat lebih tinggi
  • Misalkan suku tersebut
  • Terakhir masuk ke pengintegralan

Menentukan suku dengan pangkat lebih tinggi

Cek lagi soalnya.

= ∫ 4x(2x²-2)³ dx

Kumpulan sukunya adalah:
  • 4x
  • (2x²-2)³
  • Kita pilih (2x²-2) karena memiliki pangkat lebih tinggi, yaitu pangkat 3.
    Nanti (2x²-2) yang dimisalkan dengan U

Memisalkan kumpulan suku dengan pangkat lebih tinggi

Kita sudah peroleh yang dimisalkan dengan U, yaitu (2x²-2)

U = 2x²-2
  • Yang dimisalkan hanya kumpulan sukunya saja.
  • Pangkatnya tidak ikut ya, pangkat yang di luar kurung.
Selanjutnya kita turunkan kumpulan suku ini.

U = 2x²-2

dU/dx = 4x

Lanjutkan dengan mengalikan 4x dengan dx untuk mendapatkan dU
Ini disebut perkalian silang.

dU = 4x.dx.


Mengintegralkan soal

= ∫4x(2x²-2)³ dx
  • Atur ulang posisi soalnya.
  • 4x dipindah di belakang dekat dengan dx untuk memudahkan perhitungan.
= ∫(2x²-2)³.4x.dx
  • Ganti warna merah dengan U
  • Ganti warna biru dengan dU
= ∫(U)³ dU

  • Sekarang integralkan
= ¹∕₄U⁴ + C

  • Ganti U = 2x²-2
= ¹∕₄(2x²-2)⁴ + C

Inilah integral soal kedua.
Subscribe to: Posts (Atom)