Home Posts filed under Trigonometri
Showing posts with label Trigonometri. Show all posts
Showing posts with label Trigonometri. Show all posts

Nilai dari (sin x.cos x)/tan x adalah...

✔ de eka sas Comment
Pembagian trigonometri akan menghasilkan bentuk yang lebih sederhana dan kita harus mengetahui sifat-sifat atau hubungan dari sin, cos dan tan.

Dengan sifat ini, bentuk sederhananya bisa diperoleh.


Sifat yang membantu

Di bawah ada beberapa sifat trigonometri yang membantu kita dalam menjawab soal ini. Mungkin hanya satu yang digunakan, tetapi anda bisa mengingatnya untuk menjawab soal lain dengan model seperti ini.



Itulah tiga sifat umum trigonometri.
Hafalkan ya!

Soal pertama

Mari kita kerjakan soal yang pertama, seperti apa pengubahannya.


Soal :

1. Sederhanakanlah bentuk trigonometri berikut :  


Kita tulis lagi soalnya.


  • Bentuk pecahan diubah menjadi pembagian agar lebih mudah dikerjakan


  • sin x dan cos x tidak bisa diubah karena sudah bentuk dasar trigonometri.
  • Yang bisa diubah hanya tan x.
  • Ingat sifat di atas, tan x adalah hasil pembagian dari sin x dan cos x 


  • Untuk pembagian dengan pecahan, tanda bagi diubah menjadi perkalian
  • Sedangkan pecahan di belakang tanda bagi, yaitu sin x/cos x ditukar posisinya menjadi cos x/sin x.
  • Itulah cara membagi dengan pecahan ya.


  • Kedua sin x bisa dicoret karena posisinya di atas dan di bawah
  • Sehingga menyisakan cos x dikali cos x.

Nah...
Inilah bentuk sederhananya, yaitu cos²x

Bagaimana, mudah bukan?


Soal kedua

Lanjut ke soal berikutnya.

Soal :

2. Sederhanakanlah bentuk ini :  



Seperti biasa, ubah bentuk pecahannya menjadi pembagian agar mudah dikerjakan.



  • Yang bisa diubah dari bentuk di atas adalah sin 2x dan tan x
  • sin2x = 2sin x.cos x
  • tan x = sin x/cos x


  • Sekarang ubah tanda bagi menjadi perkalian
  • Sehingga pecahan di belakangnya ditukar posisi, dari semula sin x/cos x menjadi cos x/sin x.



  • Kita bisa mencoret sin x karena ada di pembilang dan penyebut




Nah...
Hasilnya adalah 2cos²x

Seperti itulah cara menyederhanakan bentuk trigonometri. Nanti akan kita sambung lagi dengan soal-soal sejenis.
Selamat belajar dan semoga membantu ya!

Baca juga ya :

Nilai sin²A = ⁹∕₁₀. Hitunglah tan A jika A adalah sudut lancip!

✔ de eka sas Comment
Kita membahas trigonometri kembali. Kali ini diketahui nilai dari sin²A dan diminta menemukan tan A.
Terasa susah?


Tenang...
Kita bahas soal ini dengan baik dan perhatikan apa saja langkah-langkahnya sehingga bisa mendapatkan jawaban yang tepat.

Konsep soal

Sebelum menjawab soalnya, kita perhatikan dulu rumus apa saja yang berhubungan dengan soal ini. Rumus-rumus ini perlu dihafal karena memudahkan kita dalam menjawab berbagai soal trigonometri.

sin²x + cos²x = 1 ...①

tan x = sin x/cos x ...②

Itulah dua rumus yang membantu kita dalam menyelesaikan soal ini. Kita gunakan dulu persamaan ① untuk mendapatkan cos, setelah itu baru masuk ke persamaan ②.

Soal

Ok...
Sekarang kita coba soalnya. Perhatikan langkah-langkahnya sampai menemukan jawaban yang benar.

Soal :

1. Nilai dari sin²A = ⁹∕₁₀, hitunglah nilai dari tan A jika A adalah sudut lancip!


Baik..
Kita kerjakan soalnya.


Mencari cos A

Gunakan persamaan ①.

sin²x + cos²x = 1

Bisa ditulis :

sin²A + cos²A = 1
  • sin²A = ⁹∕₁₀ (diketahui pada soal)
⁹∕₁₀ + cos²A = 1
  • Pindahkan ⁹∕₁₀ ke ruas kanan sehingga menjadi -⁹∕₁₀
cos²A = 1-⁹∕₁₀
  • Samakan penyebut dari 1 agar menjadi 10
  • Sehingga 1 bisa dibuat menjadi ¹⁰∕₁₀
cos²A = ¹⁰∕₁₀-⁹∕₁₀

cos²A = ¹∕₁₀
  • Untuk mendapatkan cos A, akarkan ¹∕₁₀
cos A = √(¹∕₁₀)


Mencari sin A

Pada soal diketahui :
  • sin²A = ⁹∕₁₀
Kita cari nilai sin A.

sin²A = ⁹∕₁₀
  • Untuk mendapatkan sin A, maka ruas di sebelahnya harus diakarkan.
  • Akarkan ⁹∕₁₀
sin A = √(⁹∕₁₀)


Mencari tan A

Nah...
Nilai dari sin A dan cos A sudah diketahui dan sekarang kita dengan mudah bisa mencari nilai dari tan A.

Tan adalah hasil pembagian dari sin dan cos.

  • sin A = √(⁹∕₁₀)
  • cos A = √(¹∕₁₀)

  • Karena pembilang dan penyebut sama-sama punya akar, akarnya bisa dijadikan satu seperti di bawah.


  • Kita ubah menjadi tanda bagi agar mudah dikerjakan.


  • Tanda bagi diubah menjadi perkalian, sedangkan pecahan di belakangnya, yaitu¹∕₁₀  ditukar posisinya menjadi ¹⁰∕₁
Sehingga kita dapatkan nilai tan A adalah 3.

Cara lain

Ini alternatif pengerjaan soalnya dan masih menggunakan data dari perhitungan di atas. Sebelumnya kita sudah mengetahui :
  • sin²A = ⁹∕₁₀
  • cos²A = ¹∕₁₀
Di sini kita tidak perlu mencari sin A dan cos A, tetap gunakan yang dalam bentuk kuadrat.

Langkahnya seperti ini.


  • Ingat, tan adalah hasil pembagian dari sin dan cos
  • Kuadratkan semuanya dan menjadi bentuk di atas.
Selanjutnya masukkan nilai sin² dan cos².

  • Biarkan persamaan dalam bentuk kuadrat
  • Bentuk pecahan diubah menjadi pembagian
  • Tanda bagi diubah menjadi kali sehingga pecahan di belakangnya menjadi 10/1



Nah, kita mendapatkan tan A = 3.
Hasilnya sama dengan cara di atas.

Silahkan pilih, langkah mana yang lebih disukai.

Tips!
Dalam soal diketahui kalau sudutnya lancip, berarti sudut ini terletak di kuadran I. Yang artinya nilai sin dan cos adalah positif. Karena nilai sin dan cos positif, maka tan juga positif.

Ingat lagi sifat-sifat seperti ini ya, sehingga tidak terjebak soal dan salah dalam menjawab.


Soal :

2. Cos²A = ⁸∕₁₀, hitunglah nilai dari tan A jika A adalah sudut tumpul!


Dalam soal diketahui :
  • cos²A = ⁸∕₁₀

Mencari sin²A

Langsung saja gunakan cara yang kedua di atas, biarkan bentuk sin dan cos dalam kuadrat. Pengubahan di akhir saja.

Gunakan dulu sifat pertama.

sin²A + cos²A = 1
  • cos²A = ⁸∕₁₀

sin²A + ⁸∕₁₀ = 1
  • Pindahkan ⁸∕₁₀ ke ruas kanan menjadi -⁸∕₁₀
sin²A = 1 - ⁸∕₁₀
  • 1 diubah menjadi ¹⁰∕₁₀ agar penyebutnya sama

sin²A = ¹⁰∕₁₀ - ⁸∕₁₀

sin²A = ²∕₁₀


Mencari tan A

Kita sudah mendapatkan :
  • sin²A = ²∕₁₀
  • cos²A = ⁸∕₁₀


  • Ubah bentuk pecahan menjadi pembagian


Terus, karena sudut A terletak di kuadran kedua (sudut tumpul), maka sin positif dan cos negatif. Sehingga tan-nya menjadi negatif.

Tan A yang sebenarnya adalah -½ 

Tan A = -½ 

Bagaimana, sudah mengerti kan cara mencari tan A jika diketahui sin kuadrat atau cos kuadratnya? Mudah kan?
Silahkan ulangi lagi soalnya, pahami caranya dan bagaimana jawabannya bisa diperoleh.


Baca juga ya :

Membuktikan sin (90-a) = cos a, beserta contoh soalnya

✔ de eka sas Comment
Membuktikan persamaan di atas bisa dengan menggunakan salah satu sifat trigonometri. Sifat ini mesti dihafalkan karena sangat berguna untuk beberapa soal sudut seperti ini.


Sifat yang membantu

Untuk membuktikan persamaan ini, kita hanya membutuhkan satu sifat saja. Sifat ini sudah cukup memberikan jawaban yang tepat.

Ini sifatnya :
  • sin(p-q) = sin p×cos q - cos p×sin q
Nah...
Itulah sifat yang akan digunakan.

Membuktikan persamaannya

Sekarang kita terapkan ke persamaan yang ditanya.
Apakah sin(90-a) = cos a?

Ayo kita kerjakan!!

sin(90-a) = sin90×cos a - cos90×sin a
  • Perhatikan lagi sifat yang sudah diberikan di atas
    sin (p-q) = sin p×cos q - cos p×sin q
  • sin(90-a)
    maka p = 90
    q = a
Selanjutnya...
  • Ingat nilai sin dan cos dari sudut 90
  • sin 90 = 1
  • cos 90 = 0
  • Ini harus dihafalkan ya
sin(90-a) = 1×cos a - 0×sin a

sin(90-a) = cos a - 0

sin(90-a) = cos a

Jadi...
sin(90-a) = cos a...(TERBUKTI!!)

Seperti itulah prosesnya ya.

Contoh soal

Sesudah membuktikan sifat di atas, sekarang kita coba dengan contoh soalnya. Di sini akan dibahas dengan dua cara.

Soal :

1. Hitunglah hasil dari sin(90-15)!


Kita mulai dari cara pertama.

Cara pertama

Gunakan sesuai rumus.

sin(p-q) = sin p×cos q - cos p×sin q

sin(90-15)
  • Berarti p = 90
  • q = 15
sin(90-15) = sin 90×cos 15 - cos 90×sin 15
  • sin 90 = 1
  • cos 90 = 0
sin(90-15) = 1×cos 15 - 0×sin 15

sin(90-15) = cos 15 - 0

sin(90-15) = cos 15

Jadi, inilah jawabannya.
Cara pertama masih menggunakan sifat aslinya agar anda paham bagaimana proses pengerjaannya.


Cara kedua

Untuk cara yang kedua kita langsung menggunakan rumus jadi yang sudah diperoleh dari pembuktian di atas.

Hasil pembuktian :

sin(90-a) = cos a

Soalnya adalah sin(90-15), artinya
  • a = 15
  • Sekarang ganti a dengan 15
sin(90-a) = cos a

sin(90-15) = cos 15

Nah...
Itulah hasil jika menggunakan rumus pembuktian yang sudah kita dapatkan.
Bagaimana, sudah dimengerti kan??

Untuk cos 15 dibiarkan saja ya, karena hasilnya ada banyak koma. Dan 15 juga bukan tergolong sudut istimewa.
Biarkan saja seperti itu.



Soal :

2. Berapakah nilai dari sin(90-20)!


Soal ini juga diselesaikan dengan dua cara, sama seperti soal pertama.

Cara pertama

Kita gunakan rumus aslinya.

sin(p-q) = sin p×cos q - cos p×sin q

sin(90-20)
  • Artinya, p = 90
  • q = 20
sin(90-20) = sin 90×cos 20 - cos 90×sin 20
  • sin 90 = 1
  • cos 90 = 0
sin(90-20) = 1×cos 20 - 0×sin 20

sin(90-20) = cos 20 - 0

sin(90-20) = cos 20

Itulah jawaban yang dimaksud.
Biarkan saja hasilnya dalam bentuk cos 20.

Cara kedua

Untuk cara kedua langsung menggunakan hasil pembuktian seperti di bawah.

sin(90-a) = cos a

Soalnya adalah sin(90-20), artinya
  • a = 20
  • Langsung ganti a dengan 20
sin(90-a) = cos a

sin(90-20) = cos 20

Jawabannya sama, yaitu cos 20.

Fakta menarik lain

Mari kita pakai soal pertama.

sin(90-15) = cos 15
  • Sekarang kurangkan 90 dengan 15
  • Hasilnya 75
sin 75 = cos 15

Nah...
Kita dapatkan data menarik kalau sin 75 itu hasilnya sama dengan cos 15.
Bisa dibuktikan dengan kalkulator.


Bisa dilihat pada gambar di atas.
sin 75 dan cos 15 memberikan hasil yang sama, yaitu 0,9659.


Soal nomer dua juga sama.

sin(90-20) = cos 20
  • kurangkan 90 dengan 20 menjadi 70
sin 70 = cos 20

Untuk membuktikan silahkan gunakan kalkulator ya!!


Baca juga ya :

Diketahui cos a = p/q. Nilai dari cosec a jika a sudut lancip adalah...

✔ de eka sas Comment
Karena diketahui cos sudut a, kita bisa mencari nilai cosec-nya dengan mencari sisi yang belum diketahui. Caranya menggunakan rumus pitagoras. Atau bisa menggunakan rumus trigonometri untuk mendapatkan nilai sin-nya secara langsung.

Nanti kita coba keduanya.


Cara pertama

Ok...
Kita lihat dulu soalnya.


Soal:

1. Diketahui cos a = p/q. Hitunglah nilai dari cosec a jika a adalah sudut lancip!


Pada soal diketahui kalau a adalah sudut lancip.

Sudut lancip memiliki ciri:
  • Semua nilai sin, cos, tan, cosec, secan dan cotan adalah positif.
Perhitungan jauh lebih mudah karena kita tidak perlu bingung memikirkan tanda ya.


Menggunakan pitagoras

Perhatikan gambar di bawah.


Cos a adalah hasil pembagian dari AB dan AC.
Bisa ditulis seperti di bawah.



Kemudian :
  • Ganti cos a = p/q
    Sesuai diketahui pada soal ya.
Akhirnya bisa diperoleh data:
  • AB = p
  • AC = q
Bagaimana, sudah paham sampai di sana??


Menggunakan pitagoras

Setelah mengetahui AB dan AC, sekarang kita bisa mencari BC.
Untuk apa mencari BC?
BC dicari untuk mendapatkan nilai dari cosec.



Kitapun dapat nilai BC.



Mencari cosec a

Setelah semua sisi diketahui, kita bisa mencari nilai dari cosec.

Cosec a adalah hasil pembagian dari AC dan BC.
Ingat-ingat lagi rumusnya ya.



Nah...
Inilah nilai dari cosec a.
Kita sudah menemukannya.

Bagaimana, sudah paham ya??

Cara kedua

Pada cara kedua, kita gunakan rumus untuk mendapatkan sin sudut a.
Rumusnya adalah: sin²a + cos²a = 1.


Mencari sin a

Pada soal diketahui cos a = p/q
Masukkan nilai itu ke dalam rumus.


  • Masukkan nilai cos ke dalam persamaan/rumus
  • Selanjutnya pindahkan p²/q² ke ruas kanan menjadi -p²/q²




  • Untuk 1, kita buat menjadi bentuk q²/q² agar penyebutnya sama dengan yang disebelahnya.
  • Sin a diperoleh dengan mengakarkan bentuk di sebelahnya.
  • Yang bisa diakarkan hanyalah q² menjadi q, sehingga q berada di luar akar.


Mencari cosec a


Setelah nilai sin a diketahui, kita bisa mencari cosec a.

Cosec a adalah kebalikan dari sin a.


  • Perhatikan lagi cara pembagian dengan pecahan ya.
  • Tanda bagi menjadi perkalian
  • Kemudian pecahan di belakang tanda bagi bertukar posisi antara pembilang dan penyebutnya.
Akhirnya kita pun mendapatkan nilai dari cosec a.
Hasilnya sama dengan soal pertama kan??


Baca juga ya:

#2 Nilai Sinus Dari Sudut 120, 135 dan 150 derajat

✔ de eka sas Comment

Di artikel sebelumnya..

Saya sudah membahas bagaimana cara mencari sinus dari sudut 15o, 75o, dan 105o.
Silahkan baca dibawah ini..

Baca juga :


Dan sekarang..

Akan dibahas bagaimana caranya mencari nilai sinus dari sudut 120o, 135o dan 150o.

Ok, langsung saja kita mulai..

Rumusnya tolong diingat ya..

Sin (a+b) = Sin a. Cos b + Cos a. Sin b
Sin (a-b) = Sin a. Cos b - Cos a.Sin b

Sudut 120o,
Sin 120 = Sin (90 + 30)


Silahkan bandingkan hasilnya disini : Nilai sinus, cosinus, tangen sudut istimewa

Sudut 135o,
Sin 135 = sin (90+45)


Sudut 150o,
Sin 150 = sin (90 + 60)



Nah, itulah nilai sinus dari sudut 120o, 135o dan 150o.

Semoga membantu ya..


Baca juga :

#1 Nilai Sinus Dari Sudut 15,75 dan 105 derajat

✔ de eka sas Comment

Sebelum kita masuk membahas cara mencari sinus ketiga sudut ini..

Tolong dihafalkan dulu nilai dari masing-masing sudut istimewanya, silahkan baca pada link berikut ini..

Baca : Nilai sinus, cosinus, tangen sudut-sudut istimewa
Ok, langsung kita bahas..

Rumus untuk mencari sinus dari suatu sudut baru adalah sebagai berikut :

Sin (a-b) = [sin a. cos b] - [cos a. sin b]
Sin (a+b) = [sin a. cos b] + [cos a. sin b]

Tolong hafalkan juga rumus diatas ya!!

Sinus sudut 15o

Sin 15 = sin (45-30)


Sinus sudut 75o

Sin 75 = sin (45 + 30)



Sinus sudut 105o

Sin 105 = sin (60 + 45)



Nah..

Itulah nilai dari sinus sudut 15, sudut 75 dan juga sudut 105..


Baca juga :


Nilai Sinus, Cosinus, Tangen Sudut-sudut Istimewa

✔ de eka sas Comment
Untuk belajar sinus, cosinus dan juga tangen..

Kita harus mengetahui nilai dari masing-masing sudut spesialnya.

Caranya adalah dengan menghafalkan nilai-nilainya dan ini akan sangat memudahkan kita ketika belajar ke depannya.

Ok, coba perhatikan tabel dibawah ini..!!

Ini adalah tabel nilai dari sudut-sudut spesial tersebut..



Nah,,

Hafalkan nilai-nilainya dengan baik..

Pastinya akan sangat bermanfaat ketika mengerjakan soal-soal tentang trigonometri.

Untuk soal-soal selanjutnya, nanti akan dibahas lagi cara pengerjaannya. Dan pastinya akan menggunakan nilai-nilai sudut spesial.

Semoga membantu ya..

Subscribe to: Posts (Atom)