Home Posts filed under Persamaan Kuadrat
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts

Mencari himpunan penyelesaian (HP) persamaan kuadrat dengan rumus ABC

✔ de eka sas Comment

Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat, ada beberapa cara yang bisa dilakukan.

Dan kali ini kita akan fokus membahas cara rumus ABC.


Kok disebut rumus ABC?

Persamaan kuadrat memiliki rumus umum. Masih ingatkah?
Berikut bentuknya.

ax² + bx + c = 0

Keterangan :

  • "a" adalah angka di depan x²
  • "b" adalah angka di depan x
  • "c" adalah angka yang tidak memiliki variabel atau huruf x.
Rentetan ABC inilah yang mendasari nama rumus yang satu ini.

Soal 

Ok...
Sekarang kita masuk ke dalam soalnya.

Soal :

1. Hitunglah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x² + x - 12 = 0


Catat lagi persamaan kuadratnya.

x² + x - 12 = 0

Tulis yang termasuk a, b dan c.
  • "a" adalah angka di depan x².
    Karena tidak tertulis angka apapun di depannya, berarti a = 1
  • "b" adalah angka di depan x
    Di depan x juga tidak ada angka yang tertulis, berarti b = 1.

  • "c" adalah angka yang tidak ada hurufnya, c = -12.
    Tanda minusnya ikut ya, jangan ditinggalkan.

 

Jika tidak ada angka yang tertulis dan terlihat hanya huruf x saja, maka angkanya pasti 1.

Rumus ABC

Bentuk rumus abc sebagai berikut :





Menentukan himpunan penyelesaian

Sekarang masukkan masing-masing nilai a, b dan c ke dalam rumusnya. Nanti kita akan mendapatkan masing-masing nilai x.




Masukkan :
  • a = 1
  • b = 1
  • c = -12

Dan kita akhirnya mendapatkan bentuk di atas.



Selanjutnya...



Untuk mendapatkan x₁, kita gunakan yang penjumlahan atau tanda +.

Coba lihat di rumusnya, kan ada tanda ± dibelakang "-b". Nah, tanda itu maksudnya bisa dipecah menjadi penjumlahan dan pengurangan.

Dalam x₁ yang menggunakan penjumlahan, kita mendapatkan nilai 3.





Sekarang gunakan yang pengurangan untuk mendapatkan x₂




Untuk yang ini kita dapatkan nilainya adalah -4.


Jadi....
Himpunan penyelesaian dari persamaan x² + x - 12 = 0 adalah HP = { x = 3 atau x = -4)


Cara alternatif

Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Cara yang paling populer adalah pemfaktoran.
Jika pemfaktoran dirasa susah, rumus inilah menjadi andalan.

Bagaimanapun bentuk persamaan kuadrat, asalkan diskriminannya (D) lebih atau sama dengan dari nol, hasilnya ada.
Bisa berbentuk desimal atau pecahan.

Rumus ini sangat ampuh.

Nah...
Jika bertemu dengan soal seperti ini dan cara pemfaktoran sangat susah, langsung saja terapkan rumusnya dan hasilnya bisa langsung diperoleh.

Selamat mencoba ya.


Baca juga ya :

Mencari titik puncak parabola x2 -4x + 3

✔ de eka sas Comment
Ketika diberikan persamaan parabola, salah satu soal yang dimunculkan adalah berapa titik puncaknya.


Itu mudah sekali.
Dan kita akan mencoba mengerjakan soalnya di bawah ini.


Soal :

1. Carilah titik puncak dari persamaan parabola y = x² - 4x + 3!


Dalam persamaan parabola, ada istilah "a", "b" dan "c".
Ini harus dipahami dulu agar memudahkan perhitungan.

Rumus umum parabola adalah : y = ax² + bx + c

Artinya adalah :

  • a = angka di depan x²
  • b = angka di depan x
  • c = angka yang tidak memiliki huruf atau koefisien, disebut dengan konstanta.

Ok...
Jelas sampai disana ya...


Menentukan a, b dan c dari soal

Kita lihat lagi persamaan soalnya...

y = x² - 4x + 3

  • a = 1, karena di depan x² tidak ada angka yang terlihat, itu pastilah 1
  • b = -4, angka di depan x
  • c = 3, angka yang tidak ada huruf atau variabel.



Mencari titik puncak

Sekarang kita sudah mendapatkan nilai dari a, b dan c.
Titik puncaknya bisa dicari.

Hitung nilai x titik puncak dulu, rumusnya sebagai berikut.


Masukkan nilai b dan a ke dalam persamaan.


Minus bertemu dengan minus menjadi positif.


Nilai x sudah diperoleh.



Kita bisa mencari nilai y sekarang.

Persamaannya bisa ditulis seperti ini.

y = x² - 4x + 3

  • ganti x = 2 untuk mendapatkan y
  • sesuai dengan hasil perhitungan x di atas ya.

y = 2² - 4.2 + 3

y = 4 - 8 + 3

y = -1.




Nilai x dan y sudah diperoleh :

  • x = 2
  • y = -1

Titik puncaknya adalah (x,y) = (2,-1).
Inilah puncak dari parabola yang dicari.






Soal :

2. Titik puncak dari persamaan parabola y = 3x² + 6x -1!


Masih menggunakan cara yang sama dengan soal pertama.


Menentukan a, b dan c dari soal

Kita lihat lagi persamaan soalnya...

y = 3x² + 6x - 1

  • a = 3
  • b = 6
  • c = -1



Mencari titik puncak

Hitung nilai x titik puncak dengan rumus ini!


Masukkan nilai b dan a ke dalam persamaan.





Nilai x sudah diperoleh dan sekarang kita bisa menghitung nilai y.


y = 3x² + 6x - 1

y = 3.(-1)² + 6.(-1) - 1

y = 3.1 - 6  - 1

y = 3 - 6 - 1

y = -4





Nilai x dan y sudah diperoleh :

  • x = -1
  • y = -4

Titik puncaknya adalah (x,y) = (-1,-4).


Baca juga ya :

Hitunglah nilai x pada 4x + 4 > 2x + 8

✔ de eka sas Comment
Menghitung nilai x pada suatu pertidaksamaan langkahnya sama dengan mendapatkan x pada suatu persamaan.



Tapi ada perbedaan sedikit.
Jika dibagi dengan tanda minus, maka tanda pertidaksamaan terbalik. Nanti akan dijelaskan lagi pada soalnya.

Soal :

1. Hitunglah nilai x pada pertidaksamaan berikut : 4x + 4 > 2x + 8!


Kita tuliskan soalnya lagi..

4x + 4 > 2x + 8


  • Kumpulkan suku yang sejenis
  • Yang ada "x", kita kumpulkan disebelah kiri dan yang tidak ada "x" dikumpulkan disebelah kanan

Sehingga :
  • Pindahkan 2x ke ruas kiri sehingga menjadi -2x
  • pindahkan +4 ke ruas kanan sehingga menjadi -4

4x - 2x > 8 - 4

2x > 4

  • Untuk mendapatkan "x", bagi 4 dengan 2

x  > 4 ÷ 2

x > 2

Jadi, nilai x yang digunakan haruslah lebih dari 2 (x>2), agar pertidaksamaan tersebut bernilai benar. 

Himpunan penyelesaian dari x > 2 = {3,4,5,6,.....}

Kita tidak boleh menggunakan 2 karena tidak ada tanda sama dengan dibawah tanda ">". Jika tandanya seperti ini "≥", maka 2 harus dipakai.




Soal :

2. Nilai x pada x - 5 < 3x + 7 adalah...


Ok..
Kita coba soal berikutnya..

x - 5 < 3x + 7


  • Kumpulkan suku yang ada "x" disebelah kiri dan yang tidak ada "x" disebelah kanan
  • Pindahkan 3x ke ruas kiri menjadi -3x
  • Pindahkan -5 ke ruas kanan menjadi +5

x - 3x < 7 + 5

-2x < 12

  • Untuk mendapatkan x, maka 12 harus dibagi dengan -2

x > 12 ÷ -2


Perhatikan!!
  • Tanda yang sebelumnya "<" sekarang menjadi ">"
  • Itu karena dibagi oleh tanda negatif (-) dari -2, maka pertidaksamaan mengalami perubahan
  • Jika sebelumnya "<", akan menjadi ">". Jika sebelumnya ">" akan menjadi "<".

Jelas ya..

x > -6


Himpunan penyelesaian dari x > -6 = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,....}
-6 tidak ikut karena dibawah tanda > tidak ada tanda sama dengan.



Baca juga :

Mencari faktor dari x2+12x

✔ de eka sas Comment
Mencari faktor dengan bentuk seperti ini, kita hanya perlu mengeluarkan suku yang bisa membagi keduanya.


Mari perhatikan contohnya agar semakin mudah dimengerti.


Soal :

1. Carilah faktor dari x² + 12x !!


Sekarang, kita tinggal mencari suku yang bisa membagi x² dan juga 12x. Setelah diperoleh, pembaginya diletakkan diluar kurung.

  • Di depan x² tidak ada angka dan 12x ada angka yaitu 12, berarti angka tidak bisa digunakan untuk membagi karena salah satu tidak memiliki angka, yaitu x²
Kemudian kita lihat hurufnya (variabel) :
  • Keduanya ternyata sama-sama memiliki huruf (variabel), yaitu x.
  • Jika dibagi dengan x², 12x tidak habis dibagi x², jadi kita gunakan x saja.
  • x² habis dibagi x
  • 12x juga habis dibagi x

Sehingga, "x" adalah pembagi yang dicari.

= x² + 12x
  • karena keduanya bisa dibagi "x", maka "x"-lah yang diluar kurung
= x(x + 12)
  • Untuk mendapatkan yang di dalam kurung, bagi x² dengan x = x
  • bagi 12x dengan x = 12.

Jadi faktor dari x² + 12x = x(x+12)




Soal :

2. Tentukanlah faktor dari 2x² + 12x !!


Langkahnya sama dengan soal pertama..

  • 2x² dan 12x sama-sama memiliki angka, yaitu 2 dan  12.
  • 2 dan 12 sama-sama bisa dibagi 2.
  • jadi kita sudah mendapatkan satu pembaginya, yaitu 2

Lihat hurufnya (variabel) :
  • 2x² dan 12x sama-sama memiliki huruf x
  • yang bisa membagi x² dan x adalah x
  • kita dapatkan lagi pembagi hurufnya, yaitu x


Sehingga suku pembagi yang lengkap adalah 2x


= 2x² + 12x
  • keduanya dibagi 2x dan 2x bisa dikeluarkan atau diletakkan di luar kurung
= 2x (x + 6)
  • bagi 2x² dengan 2x = x
  • bagi 12x dengan 2x = 6
  • x dan 6 diletakkan di dalam kurung

Sehingga faktor dari 2x² + 12x = 2x(x+6)



Soal :

3. Hitunglah faktor dari 3x² -9x !!


Kita cari pembaginya dulu..

  • 3x² dan 9x sama-sama memiliki angka, yaitu 3 dan 9
  • 3 dan 9 sama-sama bisa dibagi 3.
  • Jadi kita sudah dapatkan satu pembaginya yaitu 3.

Terus :
  • 3x² dan 9x sama-sama memiliki x
  • x² dan x hanya bisa dibagi oleh x

Sehingga pembagi lengkapnya adalah 3x


= 3x² - 9x
  • 3x² dibagi 3x = x
  • 9x dibagi 3x = 3
  • tandanya sesuai dalam soal, yaitu kurang (-)


= 3x(x-3)




Soal :

4. Carilah faktor dari 6x² -2x !!


6x² dan 2x sama-sama bisa dibagi 2x (silahkan hitung sendiri ya!!)

Jadi faktornya :


= 6x² - 2x
  • 6x² dibagi 2x = 3x
  • 2x dibagi 2x = 1
  • tandanya sama, yaitu kurang (-)


= 2x (3x - 1)



Baca juga :

Mencari Sumbu Simetri Dan Titik Puncak Grafik Persamaan Kuadrat : x2 4x + 5

✔ de eka sas Comment
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang mempunyai grafik melengkung seperti parabola dan juga memiliki sebuah sumbu simetri dan satu titik puncak.

Itulah yang akan kita cari.



Soal :

1. Carilah sumbu simetri dan titik puncak dari persamaan kuadrat : y = x² + 4x + 5



Mari perhatikan persamaan kuadratnya lagi..

y = x² + 4x + 5

dan rumus umum persamaan kuadrat adalah :

y = ax² + bx + c


Sekarang kita akan menentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat yang diketahui.

y = x² + 4x + 5

  • "a" adalah angka di depan x², sehingga a = 1
  • "b" adalah angka di depan x, sehingga b = 4
  • "c" adalah angka yang tidak mengandung variabel, sehinggga c = 5


Mencari sumbu simetri

Untuk rumus sumbu simetri, sebagai berikut :


x = -b/2a


Sekarang masukkan nilai a dan b ke dalam rumusnya..


x = -b/2a

  • b = 4
  • a = 1

x = -4/2.1

x = -4/2


x = -2


Jadi sumbu simetri dari persamaan parabola diatas adalah x = -2.



Mencari titik puncak

Untuk mendapatkan titik puncak, kita tinggal masukkan nilai pada sumbu simetri ke persamaan kuadratnya.

y = x² + 4x + 5

  • Masukkan x = -2 (hasil "x" pada sumbu simetri)

y = (-2)² + 4.(-2) + 5

y = 4 - 8 + 5

y = 1


Sehingga titik puncaknya adalah (x,y) = (-2,1)


Sumbu simetri juga berfungsi sebagai nilai "x" untuk titik puncaknya. Dan untuk mencari "y", tinggal masukkan sumbu simetri ke rumus persamaan kuadratnya.





Soal :

2. Tentukanlah sumbu simetri dan titik puncak dari persamaan kuadrat : y = x² - 6x + 9


Kita akan tentukan dulu nilai a, b dan c

y = x² - 6x + 9

  • "a" adalah angka di depan x², sehingga a = 1
  • "b" adalah angka di depan x, sehingga b = -6
  • "c" adalah angka yang tidak mengandung variabel, sehinggga c = 9


Mencari sumbu simetri

Rumus sumbu simetri adalah :


x = -b/2a


Kemudian,  masukkan nilai a dan b ke dalam rumusnya..


x = -b/2a

  • b = -6
  • a = 1

x = -(-6)/2.1

x = 6/2


x = 3


Sehingga diperoleh sumbu simetri-nya, x = 3



Mencari titik puncak

Setelah menemukan sumbu simetri, sekarang masukkan nilai "x" sumbu simetrinya ke dalam rumus persamaan kuadrat.

y = x² - 6x + 9

  • Masukkan x = 3 (hasil "x" pada sumbu simetri)

y = (3)² - 6.(3) + 9

y = 9 - 18 + 9

y = 0


Sehingga titik puncaknya adalah (x,y) = (3,0)



Baca juga ya :

Mencari Faktor 2x2 + 9x - 5 = 0

✔ de eka sas Comment
Untuk memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat seperti ini, bisa menggunakan metode coba-coba perkalian.

Maksudnya bagaimana?


Nanti akan dijelaskan lebih lanjut dalam soal..


Soal :

1. Faktorkanlah persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0


Bentuk persamaan kuadrat diatas, bisa dipecah sebagai berikut :

  • 2x² = 2x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
  • -5 = (-5 × 1) atau (5 × -1)  

Yang digunakan hanya bagian depan dan belakang persamaan kuadrat, yang 9x tidak usah dipecah.

Metode coba-coba ini adalah mencoba mengalikan angka antara pasangan yang dikiri dengan yang dikanan, sehingga jika dijumlah menghasilkan 9x.


Perhatikan penjelasan dibawah..

Percobaan pertama



Yang dipecah adalah bagian depan yang dan belakang, yaitu 2x² dan (-5), sedangkan bagian yang tengah dibiarkan, tidak dipakai dulu.


Ingat!!
  • 2x² = 2x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
  • -5 = 1 × -5

Langkahnya :
  • kalikan 2x dengan 1 (sesuai panah) hasilnya = 2x
  • kalikan x dengan -5, hasilnya -5x

Sekarang kita jumlahkan keduanya, apakah hasilnya mau menjadi 9x (angka yang ditengah pada persamaan kuadrat yang ditanyakan)

2x - 5x = -3x 

Ternyata tidak mau menghasilkan 9x, yang diperoleh malah -3x. Jadi percobaan yang pertama ini tidak dipakai karena hasilnya tidak cocok.




Percobaan kedua



Sekarang pemecahannya sebagai berikut :
  • 2x² = 2x × x 
  • -5 = -1 × 5

Perkaliannya yang dicoba adalah :

  • 2x dikalikan dengan 5, hasilnya = 10x
  • x dikalikan dengan -1, hasilnya = -x

Kita jumlahkan keduanya

10x + (-x) = 10x - x = 9x

Ternyata hasilnya mau menjadi 9x (warna merah) sesuai suku tengah dari persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0



Menempatkan pasangannya


Pasangan dari faktor yang ingin dicari sudah diperoleh :
  • 2x cocok dengan +5
  • x cocok dengan -1

Sekarang untuk penempatannya harus hati-hati, mari buat dua buah kurung dengan masing-masing sudah ada 2x dan x

(2x + ....)(x + ....) = 0

Cara menaruh pasangannya adalah :
  • 2x cocok dengan +5, sehingga +5 diletakkan disamping x
  • x cocok dengan -1, sehingga -1 diletakkan disamping 2x

Jadi penempatannya ditukar ya!!
Tidak dengan pasangannya ketika dikalikan..

Sehingga :

(2x + (-1))(x + 5) = 0

(2x - 1)(x + 5) = 0


Jadi faktor dari persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0 adalah (2x - 1)(x + 5) = 0




Soal :

2. Faktorkanlah persamaan kuadrat 3x² - 7x - 6 = 0


Pecah dulu suku pertama dan terakhir :
  • 3x² = 3x × x (hasil perkalian dari 3x dan x)
  • -6 = (-6 × 1) atau (6 × -1)  atau (2 × -3) atau (3 × -2)


Hasil yang cocok

Disini saya langsung saja menggunakan hasil yang paling cocok dan bisa dicoba sendiri ya dengan hasil perkaliannya..




Pemecahan suku pertama dan terakhir adalah :

  • 3x² = 3x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
  • -6 = -3 × 2

Langkahnya :

  • kalikan 3x dengan -3 (sesuai panah) hasilnya = -9x
  • kalikan x dengan 2, hasilnya = 2x

Jumlahkan kedua hasil tersebut apakah mau menjadi -7x, suku tengah dari 3x² - 7x - 6 = 0

-9x + 2x = -7x

Ternyata mau!!



Menempatkan pasangannya


Pasangan dari faktor yang ingin dicari sudah diperoleh :
  • 3x cocok dengan -3
  • x cocok dengan 2

Ingat, penempatannya mesti ditukar ya..

(3x + ....)(x + ....) = 0

Cara menaruh pasangannya adalah :
  • 3x berpasangan dengan -3, sehingga -3 diletakkan disamping x
  • x berpasangan dengan 2, sehingga 2 diletakkan disamping 3x

Sehingga :

(3x + 2)(x + (-3)) = 0

(3x + 2)(x - 3) = 0


Jadi faktor dari persamaan kuadrat 3x² - 7x - 6 = 0 adalah (3x + 2)(x - 3) = 0


Baca juga ya :

Mencari Penyelesaian x2 + x - 12 = 0 Menggunakan Rumus ABC

✔ de eka sas Comment
Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu fungsi kuadrat adalah menggunakan rumus ABC.

Kita akan segera mencobanya..


Soal :

1. Carilah penyelesaian x² + x - 12 = 0 dengan menggunakan rumus ABC!!


Mari kita lihat ciri dari persamaan kuadrat..
Persamaan kuadrat bisa dibentuk seperti ini.


ax² + bx + c  = 0
  • a = angka di depan x²
  • b = angka di depan x
  • c = adalah angka yang tidak mengandung variabel.

Sekarang kita lihat soalnya ..


x² + x - 12 = 0
  • a = 1 (karena tidak ada angka di depan x², maka angkanya sama dengan 1)
  • b = 1 (karena tidak ada angka di depan x, maka angkanya sama dengan 1)
  • c = -12 (tanda miuus juga ikut ditulis ya)

Rumus ABC adalah sebagai berikut.



Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus..



Mencari x₁

Untuk mendapatkan x₁, kita akan menggunakan tanda (+) dulu.. Yang bagian plus minus-nya kita gunakan (+).



Mencari x₂

Selanjutnya kita gunakan tanda (-)


Nah, kedua nilai x sudah diperoleh, yaitu :

  • x₁ = 3
  • x₂ = -4.
Itulah penyelesaian dari persamaan kuadratnya (3 atau -4)




Soal :

2. Carilah penyelesaian 2x² + 7x - 4 = 0 dengan menggunakan rumus ABC!!


Kita tentutkan dulu nilai a, b dan c.



ax² + bx + c  = 0
  • a = angka di depan x²
  • b = angka di depan x
  • c = adalah angka yang tidak mengandung variabel.


Sekarang kita lihat soalnya ..

2x² + 7x - 4 = 0
  • a = 2
  • b = 7
  • c = -4 (tanda minus juga ikut ditulis)

Rumus ABC  :



Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus..





Mencari x₁

Untuk mendapatkan x₁, lakukan yang penjumlahan lebih dulu..



Mencari x₂

Sekarang dikurangkan..




Nah, kedua nilai x sudah diperoleh, yaitu :

  • x₁ = ½
  • x₂ = -4.
Itulah penyelesaian dari persamaan kuadratnya (½ atau -4)



Baca juga ya :

Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0

✔ de eka sas Comment
Persamaan kuadrat yang diberikan bisa difaktorkan dan sekarang disini akan dijelaskan bagaimana cara mencarinya.

Mari lanjutkan..



Soal :

1. Apakah faktor dari persamaan kuadrat : x² + 2x - 8 = 0 ?


Kita misalkan dulu faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x + a)(x+b) = 0

Untuk mencari nilai dari a dan b, perhatikan penjelasan berikut!!

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² + 2x - 8 = 0

  • Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
    Sehingga a + b = 2
  • Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
    Sehingga a × b = -8

Jelas ya sampai disana??
Sekarang kita sudah mendapatkan dua persamaan..

a + b = 2....①
a × b = -8....②

Kira-kira angka berapa yang cocok memenuhi kedua persamaan tersebut??


Tips!!
Untuk mendapatkan batasan yang jelas, kita gunakan hasil perkaliannya. Yaitu angka berapa saja yang jika dikali menghasilkan -8.

-8 = a × b :

-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8


Dari beberapa hasil perkalian yang menghasilkan -8, pasangan mana (yang berwarna) jika dijumlahkan akan menghasilkan 2??

Pasangan warna biru kan??

Jadi :
  • a = 4
  • b = -2

Coba jumlahkan a dan b, apakah mau menjadi 2??
a + b = 2

4 +(-2) = 2

4 - 2 = 2

2 = 2 (benar)

Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

4 × (-2) = -8

-8 = -8 (benar)



Akhirnya, nilai a dan b sudah ditemukan :

  • a = 4
  • b = -2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + 4)(x + (-2)) = 0

(x + 4)(x - 2) = 0




Soal :

2. Carilah faktor dari persamaan kuadrat : x² - 2x - 8 = 0 ?


Untuk soal yang nomor dua, kita balik sedikit persamaan kuadratnya, yang pada soal pertama +2x, sekarang menjadi -2x.

Caranya masih sama..


Misalkan faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :
(x + a)(x+b) = 0

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² - 2x - 8 = 0

  • Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
    Sehingga a + b = -2
  • Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
    Sehingga a × b = -8

Kemudian kita mendapatkan :


  • a + b = -2....①
  • a × b = -8....②



Tips!!
Gunakan hasil perkalian dari -8 untuk mendapatkan a dan b


-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8



Nah, dari hasil perkalian diatas, pasangan mana yang paling pas untuk mengisi nilai a dan b, sehingga kalau dijumlahkan hasilnya -2 dan kalau dikalikan hasilnya -8??


Yang pas adalah pasangan nomor dua, warna hitam, yaitu :

  • a = -4
  • b = 2

Kita jumlahkan a dan b, apakah hasilnya sama dengan -2?

a + b = -2

-4 + 2 = -2

- 2 = - 2 (benar)


Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

-4 × 2 = -8

-8 = -8 (benar)




Jadi sudah jelas kalau nilai dari a dan b adalah :

  • a = -4
  • b = 2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + (-4))(x + 2) = 0

(x - 4)(x + 2) = 0



Baca juga :

Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2

✔ de eka sas Comment
Langkah-langkah untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan hampir mirip dengan persamaan.

Tapi hasilnya tidak hanya satu..


Jika pada persamaan hasil yang diperoleh hanya satu, maka pada pertidaksamaan bisa lebih dari itu bahkan tidak terhingga..

Ok, kita coba saja dulu soalnya agar lebih mengerti..




Soal :

 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2 adalah....


Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari nilai "x" dulu, setelah itu barulah ditentukan berapa saja himpunan penyelesaiannya.


Menyelesaikan pertidaksamaan

Tulis lagi pertidaksamaan diatas..

6x - 2 > 4x + 2
  • Kumpulkan suku-suku yang sejenis
  • suku yang mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu
  • suku yang tidak mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu
Selanjutnya :
  • pindahkan 4x ke ruas kiri menjadi -4x
  • pindahkan -2 ke ruas kanan menjadi +2
6x - 4x > 2 + 2

2x > 4
  • Untuk mendapatkan nilai x, bagi 4 dengan 2
x > 4 : 2

x > 2



Menyelesaikan pertidaksamaan

Pada langkah diatas kita sudah mendapatkan nilai x > 2 ( dibaca x lebih dari dua). Berarti disini kita harus mencari nilai yang selalu lebih dari 2.

Terus mulai dari berapa?

Perhatikan lagi, x > 2
  • Pada tanda diatas, tidak ada garis dibawah tanda lebih dari (>), sehingga 2 tidak boleh dihitung. Kita mulai pada angka 3
  • Jika misalnya tandanya seperti ini, x ≥ 2, maka nilai x dimulai dari 2. Tanda garis dibawah (>) artinya sama dengan.
Nah, karena tidak ada tanda garis atau sama dengan, maka kita mulai menghitung nilai x dari 3.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 3, 4, 5, 6, 7, ..........

Tanda (........) titik-titik banyak itu maksudnya nilainya terus naik setelah 7 sampai ke angka yang tidak terhingga.

HP = {x| x = 3,4,5,6,7,.......}

Nilainya tidak terhingga atau banyak sekali..

Bagaimana, mudah kan?





Soal :

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 2 ≤ x + 4 adalah....


Cara pengerjaannya masih sama dengan soal pertama. Kita harus menuntaskan dulu pertidaksamaan diatas sebelum menentukan nilai x-nya.


Menyelesaikan pertidaksamaan

3x - 2 ≤ x + 4
  • Kumpulkan suku yang sejenis
Sehingga :
  • pindahkan x ke ruas kiri sehingga menjadi -x
  • pindahkan -2 ke ruas kanan sehingga menjadi +2

3x - x ≤ 4 + 2

2x ≤ 6
  • untuk mendapatkan x, bagi 6 dengan 2
x ≤ 3



Menentukan himpunan penyelesaian (HP)

Diatas sudah diperoleh nilai x, yaitu x ≤ 3.
Artinya apa?

Nilai x yang kita cari harus selalu kurang dari 3 dan  angka pertama yang ditulis adalah 3. Mengingat tandanya adalah garis atau sama dengan dibawah tanda (<).

Baca lagi penjelasan diatas ya!!

Ketika ada tanda garis atau sama dengan dibawah tanda suatu pertidaksamaan, maka angka tersebut harus dipakai.

Jadi himpunan penyelesaian dari x ≤ 3 adalah ......-1,0,1,2,3

Tanda titik-titik (........) menunjukkan kalau angkanya terus berkurang mengikuti pola yang ada. Ini untuk mempersingkat penulisan.

Batas atasnya adalah angka 3 dan nilainya bergerak turun, mengingat harus selalu kurang dari tiga. Jelas ya?

HP = {x|x = ......-1,0,1,2,3}


Baca juga :

Diketahui f(x) = 2x - 4. Jika f(a) = -2, Berapakah Nilai a?

✔ de eka sas Comment
Soal fungsi seperti ini, jika tidak dicermati dengan baik bisa membuat kita kelimpungan dan dituntun ke arah yang salah..

Inilah yang harus diperhatikan..


Nanti akan dijelaskan bagaimana cara mengerjakan soal seperti ini agar langsung berjumpa dengan jawaban yang benar.

Tidak ada kebingungan lagi..



Soal :

 1. Diketahui f(x) = 2x - 4. Jika f(a) = -2, berapakah nilai a?


Pertama kita harus memahami dulu arti dari f(a) = -2..

f(a) = -2 artinya :
  • jika "x" pada fungsi f(x) diganti dengan "a", maka hasilnya -2.
f(x) = 2x - 4
  • ganti semua "x" dengan "a"
f(a) = 2a - 4
  • Ingat bahwa f(a) = -2. 
  • Jadi kita ganti f(a) yang paling depan dengan -2
Sehingga :

-2 = 2a - 4

Sudah jelas sampai disini ya?
Inilah yang harus dipahami agar tidak keliru dalam mendapatkan hasilnya..

-2 = 2a - 4
  • sekarang kita pindahkan -4 ke ruas kiri menjadi +4
-2 + 4 = 2a

2 = 2a
  • untuk mendapatkan "a", bagi 2 dengan 2
a = 2 : 2

a = 1.

Nah, nilai "a" yang kita cari adalah 1.

Bagaimana, mudah bukan?

Kita coba satu soal lagi ya..





Soal :

 2. Diketahui f(x) = 3x + 1. Jika f(a) = 13, berapakah nilai a?


Caranya masih sama dengan soal pertama..

f(a) = 13, artinya..
  • jika setiap nilai "x" pada f(x) diganti dengan "a", maka hasilnya adalah 13.
Kita ganti "x" dengan "a"

f(x) = 3x + 1

f(a) = 3a+ 1
  • Ingat bahwa hasilnya adalah 13.
  • Jadi kita ganti f(a) dengan 13, yang paling depan
13 = 3a + 1
  • pindahkan +1 ke ruas kiri menjadi -1
13 - 1 = 3a

12 = 3a
  • bagi 12 dengan 3 untuk mendapatkan "a"
a = 12 : 3

a = 4

Jadi nilai a = 4.


Baca juga :

Jika diketahui "2x + 3 = 3x - 1", Berapakah Nilai Dari 3x + 4?

✔ de eka sas Comment
Untuk mendapatkan jawaban dari soal diatas, maka kita harus tahu dulu nilai dari variabel "x". Bagaimana mencarinya? Gunakan persamaan yang sudah diketahui..



Dengan melakukan perhitungan yang cermat, nilai dari "x" bisa diperoleh dan kita segera menemukan jawaban soalnya..

Ok, kita kerjakan!!

1. Diketahui nilai dari 2x + 3 = 3x - 1. Berapakah nilai dari 3x + 4?

Dalam soal diketahui sebuah persamaan, yaitu 2x + 3 = 3x - 1, dan inilah yang akan digunakan untuk menemukan nilai dari "x".

2x + 3 = 3x - 1

  • kumpulkan suku sejenis 2x sejenis dengan 3x (karena sama-sama ada variabel x)
  • 3 kumpulkan dengan -1 (karena tidak mengandung variabel)
  • pindahkan 3x ke ruas kiri sehingga tandanya menjadi -3x
  • pindahkan 3 ke ruas kanan sehingga tandanya menjadi -3
2x - 3x = -1 - 3
  • tanda dari 2x tetap plus karena tidak pindah tempat, begitu juga dengan -1
-x = -4
  • untuk mendapatkan nilai dari "x", bagi kedua ruas dengan -1.

-x/-1 = -4/-1

x = 4.

Jawaban terakhir

 Nilai x sudah diperoleh, sekarang saatnya untuk mencari jawaban terakhir dari nilai 3x + 4. Langsung saja masukkan nilai x-nya.

= 3x + 4

= 3 × 4 + 4

  • ingat, kerjakan yang perkalian dulu ya!!
= 12 + 4

= 16.

Jadi nilai dari 3x + 4 adalah 16.



2. Diketahui nilai dari 3 + 4x = 6x - 3. Berapakah nilai dari 7x - 8?

Cara yang digunakan sama dengan soal nomor satu diatas. Kita harus mencari nilai x dulu untuk kemudian dimasukkan ke persamaan yang ditanyakan.

Yang diketahui adalah 3 + 4x = 6x - 3, mari kita kerjakan.

3 + 4x = 6x - 3
  • kumpulkan 4x dan 6x, kemudian kumpulkan -3 dengan 3.
  • pindahkan 6x ke ruas kiri sehingga menjadi -6x
  • pindahkan 3 ke ruas kanan sehingga menjadi -3
4x - 6x = -3 - 3

-2x = -6
  • untuk mendapatkan nilai x, bagi kedua ruas dengan -2.

-2x/-2 = -6/-2

x = 3.

Nah, sekarang masukkan nilai x ke persamaan yang ditanyakan.

= 7x - 8

= 7 × 3 - 8

= 21 - 8

= 13.

Jadi nilai dari 7x - 8 adalah 13.


Mencari Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Titik Potong Sumbu X (-2,0) dan (1,0), Serta Melalui Titik (2,8)

✔ de eka sas Comment
Pada artikel sebelumnya, saya sudah membahas cara mencari persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik potong sumbu x dan melalui satu titik lainnya.

Silahkan baca di : Mencari Fungsi Kuadrat, Diketahui Titik Potong Sumbu X (3,0) dan (-1,0), Serta Melalui Titik (0, -3)




Dan sekarang, kita akan membahas soal yang mirip agar para pembaca semua menjadi lebih mengerti.

 Jika semakin banyak latihan, peluang untuk lebih mengerti persoalan tipe ini lebih besar lagi dan ke depannya tidak akan bingung.

 Cek soalnya!!

Contoh soal :

 1. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, yaitu (-2,0) dan (1,0). Fungsi ini juga melalui satu titik lainnya, yaitu (2,8).

 Bagaimanakah bentuk fungsi kuadrat ini?


Ok, mari kita kerjakan soalnya..


Analisa soal

Diketahui :
  • fungsi memotong sumbu x di dua titik (-2,0) dan (1,0)
  • melalui satu titik lainnya, yaitu (2,8)
Jadi rumus yang akan digunakan adalah rumus yang melalui dua titik potong pada sumbu x.

Satu titik lainnya, yaitu (2,8), nanti akan digunakan untuk membuat persamaannya lengkap. Jadi perhatikan caranya ya!!


Mencari jawaban

Rumus yang akan kita gunakan adalah sebagai berikut :

 f(x) = y = a(x - x1)(x - x2) 

 Ini adalah rumus mencari fungsi kuadrat jika diketahui titik potong pada sumbu x.


  • x₁ dan x₂ adalah titik yang memotong sumbu x.


 Mari perhatikan lagi..

  • Titik potong pertama di sumbu x adalah (-2,0), berarti x₁ = -2
  • Titik potong kedua di sumbu x adalah (1,0), berarti x₂ = 1
Nah, sudah mengerti cara menentukan x₁ dan x₂ ya?

Lanjut lagi..!!


Menghitung persamaan

Kita masukkan x₁ dan x₂ ke dalam rumus..

 y = a(x - x1)(x - x2) 

 y = a[x - (-2)] [x - 1]

  y = a[x + 2] [x - 1] .....(1)

 Ok, cukup dulu segitu..

Mencari nilai "a"


Sekarang kita gunakan titik yang satu lagi, yaitu (2,8).
x = 2
y = 8

Masukkan nilai x dan y ini ke persamaan (1), tulisan warna merah diatas..

y = a[x + 2] [x - 1]

 8 = a[2 + 2] [2 - 1]

8 = a (4) (1)

8 = a (4)

8 = 4a
  • Bagi kedua ruas dengan 4 untuk mendapatkan nilai "a"
8 = 4a
4     4

2 = a.



Melengkapkan fungsi dengan memasukkan nilai a


Kita pakai lagi persamaan (1), tulisan warna merah..

y = a[x + 2] [x - 1]

  • ganti nilai "a" dengan 2


 y = 2 [x + 2] [x - 1]

  • kalikan (x+2) dan (x-1)
y = 2 [ x(x-1) +2(x-1) ]

y = 2 [x² - x + 2x - 2]

y = 2 [x² +x -2]
  • buka kurung dengan mengalikan 2 ke semua suku di dalam kurung
y = 2.x² +2.x - 2.2

y = 2x² + 2x - 4.

Nah, inilah fungsi kuadrat yang dimaksud..

Coba lihat lagi contoh penyelesaian yang lain pada artikel berikut untuk semakin menambah wawasan dalam pengerjaan soal seperti ini.
Subscribe to: Posts (Atom)