Solusi Matematika

Home All posts

Ada 30 mobil dan motor. Total rodanya 80, berapa banyak mobil dan motor?

✔ de eka sas Comment

Ini merupakan penerapan sistem persamaan dua variabel dan bisa dengan mudah dikerjakan lewat metode eliminasi.

Soal :

1. Disuatu tempat parkir, ada 30 kendaraan yang terdiri dari motor dan mobil. Jumlah roda semuanya ada 80 buah.

Berapa banyak mobil dan motor masing-masing?

Ayo kita kerjakan.

Misalkan :

mobil = x
motor = y

Diketahui :

ada 30 motor dan mobil
jumlah roda semuanya 80

Model matematika

Dari data yang diketahui, kita bisa membuatkan model matematikanya.

Jumlah mobil dan motor ada 30.

Berarti :

x + y = 30 ...①

Selanjutnya...
Total roda ada 80 buah.

Untuk mobil, rodanya ada empat per satu mobil
Sehingga total rodanya = 4x (empat dikali dengan x)
Untuk motor, rodanya ada dua
Sehingga total rodanya = 2y

Kemudian :

Roda mobil + roda motor = 80

4x + 2y = 80 ...②

Eliminasi keduanya

Kita sudah mendapatkan dua persamaan dan sekarang tinggal di eliminasi saja.

x + y = 30 ...①
4x + 2y = 80 ...②

Hilangkan y dulu.
Persamaan ① harus dikali 2 semuanya agar y-nya menjadi 2y sehingga sama dengan persamaan ②
Persamaan ② tidak usah dikali, biarkan saja.

x + y = 30 |×2

4x + 2y = 80

2x + 2y = 60
4x + 2y = 80 -

Mengapa dikurang?
Karena 2y pada persamaan satu bertanda sama dengan 2y pada persamaan dua. Sehingga harus dikurang agar menjadi nol.

Selanjutnya :

2x - 4x = -2x
2y - 2y = 0
60 - 80 = -20

-2x + 0 = -20

-2x = -20

Untuk mendapatkan x, bagi -20 dengan -2

x = -20 ÷ -2

x = 10

Sekarang cari nilai y.
Gunakan persamaan satu.

x + y = 30

x = 10

10 + y = 30

pindahkan 10 ke ruas kanan menjadi -10

y = 30 - 10

y = 20.

Nah...

Sudah ketemu jawabannya.

Banyak mobil (x) = 10 buah

Banyak motor (y) = 20 buah.

Baca juga ya :

Skala

Sebuah persegi dibuat dengan skala 1 : 200. Jika luas pada gambar 200 cm², maka luas sebenarnya adalah...

✔ de eka sas 1 Comment

Ini adalah modifikasi soal tentang skala dan yang diketahui hanya luas gambar serta skala. Ukuran gambar tidak diketahui.

Bagaimana caranya?

Ok...
Jangan bingung dulu.

Kita bisa melakukan perubahan rumusnya. Kali ini ada tambahan cara, tidak seperti mencari panjang atau lebar sebenarnya.

Soal :

1. Sebuah persegi dibuat dengan skala 1 : 200. Jika luas pada gambar 200 cm², berapakah luas sebenarnya?

Mari ikuti tahapan berikut ini.

Mencari skala untuk luas

Skala 1 : 200 yang diketahui pada soal hanya bisa digunakan untuk mencari panjang atau lebar sebenarnya.

Untuk luas bagaimana?
Skalanya kita kalikan.

Untuk mendapatkan skala luas, kuadratkan skala yang diketahui. Karena diketahui skala 1:200, kalikan sebanyak dua kali.

Skala luas = ¹∕₂₀₀ × ¹∕₂₀₀
Skala luas = ¹∕₄₀₀₀₀

Mencari luas sebenarnya

Setelah menemukan skala luas, sekarang masuk ke rumus biasa. Untuk mencari luas sebenarnya, berarti luas pada gambar dibagi dengan skala luas.

Luas sebenarnya = luas pada gambar ÷ skala luas

Luas sebenarnya = 200 ÷ ¹∕₄₀₀₀₀

Luas sebenarnya = 200 × ⁴⁰⁰⁰⁰∕₁

Luas sebenarnya = 8.000.000 cm²

Untuk menjadikan m², maka harus dibagi 10.000

Luas sebenarnya = 8.000.000 ÷ 10.000

Luas sebenarnya = 800 m²

Nah, inilah luas sebenarnya dari persegi yang dimaksud.

Soal :

2. Tanah berbentuk persegi dengan skala 1 : 300. Jika luas pada gambar 25 cm², maka luas sebenarnya adalah?

Kita cari skala luasnya dulu, seperti soal pertama.

Mencari skala untuk luas

Skala yang diketahui pada soal adalah 1 : 300.
Untuk mendapatkan skala luas, maka skala ini harus dikalikan dengan skala yang sama, atau dikuadratkan.

Skala luas = ¹∕₃₀₀ × ¹∕₃₀₀
Skala luas = ¹∕₉₀₀₀₀

Mencari luas sebenarnya

Untuk mendapatkan luas sebenarnya, tinggal bagi luas pada gambar dengan skala luas.

Luas sebenarnya = luas pada gambar ÷ skala luas

Luas sebenarnya = 25 ÷ ¹∕₉₀₀₀₀

Luas sebenarnya = 25 × ⁹⁰⁰⁰⁰∕₁

Luas sebenarnya = 2.250.000 cm²

Untuk menjadikan m², maka harus dibagi 10.000

Luas sebenarnya = 2.250.000 ÷ 10.000

Luas sebenarnya = 225 m²

Nah...
Semoga membantu ya..

Baca juga ya :

#8 Soal Mencari Luas Sesungguhnya dari Suatu Denah atau Gambar

Perbandingan Sisi Sejajar Trapesium 2 : 3. Jika Tinggi 4 cm dan Luas 30 cm2, Berapakah Panjang Sisi Sejajarnya?

Perbandingan Panjang dan Lebar Persegi Panjang 3 : 2. Jika Luasnya 96 cm2, Berapa Kelilingnya?

Bangun datar

Menghitung panjang sisi tegak segitiga siku-siku sama kaki jika diketahui sisi miringnya

✔ de eka sas Comment

Untuk segitiga siku-siku sama kaki, kita bisa mendapatkan sisi tegaknya jika hanya diketahui sisi miringnya saja.

Dengan menggunakan sifat segitiga sama kaki, itu bisa dikerjakan dengan cepat.

Soal :

1. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki memiliki panjang sisi miring 5√2 cm. Berapakah panjang sisi tegaknya?

Ingat lagi dengan sifat segitiga sama kaki.

Segitiga sama kaki memiliki dua kaki yang sama panjang

Begitu juga dengan segitiga siku-siku sama kaki, kedua kakinya sama panjang. Dan kedua kakinya adalah kedua sisi tegaknya.
Sehingga gambarnya seperti di bawah.

Gunakan rumus pitagoras

Karena berbentuk segitiga siku-siku, maka soalnya mengikuti rumus pitagoras.
Dari gambar diketahui :

sisi miring = AC = 5√2
sisi tegak = AB = BC = x

Sekarang masukkan ke rumus pitagoras.

Masukkan data ke rumus :

(5√2)² = 5√2 × 5√2
= 5 × 5 × √2 × √2
= 25 × 2
= 50

x² + x² = 2x²

Kemudian :

Untuk mendapatkan x², maka bagi 50 dengan 2
Untuk menghilangkan pangkat dua dari x², akarkan 25

Sehingga ketemu nilai x = 5 cm.

Inilah yang menjadi sisi tegaknya.

Soal :

2. Sisi miring pada sebuah sebuah segitiga siku-siku sama kaki adalah 8√2 cm. Berapakah panjang sisi tegaknya?

Perhatikan lagi sifat segitiga sama kaki ya.

Segitiga sama kaki memiliki panjang kaki-kaki yang sama

Gambarnya seperti di bawah

Gunakan rumus pitagoras

Masih menggunakan rumus yang sama seperti soal pertama, yaitu rumus pitagoras.

sisi miring = AC = 8√2
sisi tegak = AB = BC = x

Masukkan data-data ke dalam soal.

(8√2)² = 8√2 × 8√2
= 8 × 8 × √2 × √2
= 64 × 2
= 128

Bagi 128 dengan 2 untuk mendapatkan x²
Kemudian akarkan 64 untuk mendapatkan x

Sehingga, panjang sisi tegak dari segitiga siku-siku yang sisi miringnya 8√2 adalah 8.

Kesimpulan :
Jika ada segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui sisi miringnya, maka panjang sisi tegaknya adalah angka di depan √2.

Contoh :

Panjang sisi miring 5√2, maka sisi tegaknya 5
Panjang sisi miring 8√2, maka sisi tegaknya 8
Panjang sisi miring 12√2, maka sisi tegaknya 12

Ingat!

Ini hanya untuk segitiga siku-siku sama kaki ya.

Baca juga ya :

Volume dan Luas

Mendapatkan rumus luas permukaan tabung

✔ de eka sas Comment

Pada buku pelajaran, biasanya rumus luas permukaan tabung sudah diberikan dalam bentuk jadi. Kita tinggal pakai untuk mendapatkan luasnya.

Dan sekarang, kita akan mencari tahu dari mana asal rumus tersebut.

Mendapatkan rumus tabung dengan tutup

Untuk mendapatkan rumus luas tabung, ada baiknya dilihat dulu jaring-jaringnya. Dengan bantuan jaring-jaring, rumus luas mudah diperoleh.

Dari gambar di atas kita mendapatkan tiga buah bangun datar.

Satu lingkaran di bawah. Ini adalah alas dari tabung.
Satu lingkaran di atas. Ini adalah tutup tabung
Dan satu persegi panjang, ini adalah selimut tabung.

Untuk mendapatkan luas permukaan tabung, kita tinggal jumlahkan saja ketiga bangun datar tersebut.

Untuk luas tutup dan alas tabung sama. Mengingat bentuk dan ukurannya sama

Luas permukaan tabung = luas lingkaran atas + luas lingkaran bawah + luas persegi panjang

Karena luas lingkaran atas sama dengan bawah, kita bisa menuliskannya menjadi 2 dikali luas lingkaran (karena ada dua luas lingkaran)

Luas permukaan tabung = 2 × luas lingkaran + luas persegi panjang

Luas lingkaran = πr²

Luas persegi panjang = keliling alas × tinggi tabung
Luas persegi panjang = 2πr × t
Luas persegi panjang = 2πrt

Untuk persegi panjang :

panjang (p) = keliling alasnya, yaitu keliling lingkaran
lebar (l) = tinggi tabungnya

Sehingga kita bisa melanjutkan perhitungan luas permukaan :

Luas permukaan tabung = 2 × luas lingkaran + luas persegi panjang

Luas permukaan tabung = 2 × πr² + 2πrt

2 × πr² bisa ditulis = 2πr²
tanda kalinya boleh dihilangkan

Luas permukaan tabung = 2πr² + 2πrt

2πr² dan 2πrt, keduanya sama-sama mengandung angka 2, π dan r.
Sehingga kita bisa memfaktorkannya sebagai berikut.

Luas permukaan tabung = 2πr(r + t)

Inilah rumus luas permukaan tabung dengan tutup.

Rumus tabung tanpa tutup

Untuk tabung yang tanpa tutup, rumusnya agak berbeda. Mengingat tutupnya sendiri sudah hilang dan tidak dimasukkan lagi dalam perhitungan.

Sekarang gambarnya ada satu lingkaran dan satu persegi panjang.

Luas permukaan = luas lingkaran + luas persegi panjang
Luas permukaan = πr² + 2πrt

πr² dan 2πrt sama-sama ada π dan r
Sehingga bisa difaktorkan menjadi seperti dibawah

Luas permukaan = πr(r + 2t)

Nah, seperti itulah cara mendapatkan rumus luas permukaan tabung dengan tutup dan tabung tanpa tutup.

Contoh soal

Kita coba contoh soalnya ya!!

Soal :

1. Sebuah tabung memiliki jari-jari 10 cm dan tinggi 5 cm. Hitunglah luasnya!

Karena dalam soal tidak disebutkan tabungnya tanpa tutup, berarti langsung gunakan rumus luas tabung yang dengan tutup.

Diketahui :

r = 10 cm
t = 5 cm
π = 3,14

Masukkan ke dalam rumus :

Luas permukaan tabung = 2πr(r + t)

Luas permukaan tabung = 2×3,14×10×(10 + 5)

Luas permukaan tabung = 62,8×(15)

Luas permukaan tabung = 942 cm²

Soal :

2. Sebuah gelas berbentuk tabung memiliki jari-jari 10 cm dan tinggi 5cm. Hitunglah luas permukaannya!

Karena bentuknya gelas, maka tabung ini tanpa tutup.
Sehingga kita gunakan rumus luas tanpa tutup.

Diketahui :

r = 10 cm
t = 5 cm
π = 3,14

Luas permukaan = πr(r + 2t)
Luas permukaan = 3,14×10×(10 + 2×5)
Luas permukaan = 31,4×(10 + 10)
Luas permukaan = 31,4×(20)
Luas permukaan = 628 cm²

Baca juga ya :

Perbandingan

Perbandingan a : b = 3 : 5. Jika a = 51, berapakah nilai b?

✔ de eka sas Comment

Untuk soal perbandingan seperti ini, kita bisa menggunakan prinsip perkalian silang yang sangat memudahkan perhitungan.

Soal :

1. Perbandingan a : b = 3 : 5. Jika a = 51, berapakah nilai b?

Dalam soal diketahui :

a : b = 3 : 5
a = 51

Kita bisa buat bentuk perbandingannya seperti ini.

Sekarang ganti a dengan 51.

Kalikan silang
Kalikan 51 dengan 5, kalikan 3 dengan b

Untuk mendapatkan b, maka 51 x 5 harus dibagi dengan 3.
51 jangan dulu dikali dengan 5.
Kita sederhanakan saja biar perkalian lebih kecil, sehingga perhitungan lebih cepat.

51 bisa dibagi 3, hasilnya 17.
Sedangkan 3 menjadi 1.

Diperoleh hasilnya, b = 85.

Cara kedua

Di atas adalah cara pertama dan masih ada alternatif lain untuk menuntaskan soalnya, yaitu cara kedua ini.

Saya sebut dengan cara "n".

Perbandingan a : b = 3 : 5
Ini artinya :

Perbandingan a = 3, maka nilai a sebenarnya adalah 3n
Perbandingan b = 5, maka nilai b sebenarnya adalah 5n

Inilah mengapa disebut dengan cara "n", karena tinggal menambahkan "n" disetiap perbandingan yang ada.

Kemudian, dalam soal diketahui nilai a = 51.

Sehingga :

a = 51

a = 3n

3n = 51

Untuk mendapatkan n, bagi 51 dengan 3

n = 51 ÷ 3

n = 17.

Nilai "n" sudah diperoleh dan sekarang kita bisa mencari nilai "b".

b = 5n

b = 5 × n

b = 5 × 17

b = 85.

Nah...
Hasilnya sama dengan cara pertama, diperoleh nilai b = 85.

Baca juga :

Untung Rugi

Nita menjual bunga Rp. 5000,-. Ia rugi 20%. Berapa harga awal bunga itu?

✔ de eka sas Comment

Kita bisa mencari harga belinya jika diketahui harga jual dan kerugian yang diderita. Ada dua cara yang bisa dilakukan.

Soal :

1. Nita menjual bunga seharga Rp. 5.000,-. Ternyata ia rugi 20%.
Berapakah harga awal bunga tersebut?

Ok, mulai dari cara pertama

Cara pertama

Kita akan menggunakan rumus harga jual jika menderita rugi.

Harga jual = harga beli - rugi

Misalkan :

harga beli = n

Kita bisa mencari berapa kerugian yang diderita.

rugi = 20%

Sekarang kita cari ruginya dalam bentuk uang.

Rugi = %rugi × harga beli

Rugi = 20% × n

20% = 20/100 = 0,2

Rugi = 0,2 × n
Rugi = 0,2n

Sekarang masukkan lagi ke dalam rumus di atas.

harga jual = harga beli - rugi

harga jual = 5.000
harga beli = n
rugi = 0,2n

5000 = n - 0,2n

5000 = 0,8n

untuk mendapatkan "n", bagi 5000 dengan 0,8

n = 5000 ÷ 0,8

n = 6250.

Jadi, harga beli bunga atau harga awalnya adalah Rp. 6.250,-

Cara kedua

Cara ini agak sedikit berbeda...

Harga awal selalu 100%.
Ruginya 20%.

Kitapun bisa mencari persen harga jual.
Masih gunakan rumus yang sama.

harga jual = harga beli - rugi
harga jual = 100% - 20%
harga jual = 80%.

Sekarang kita catat apa saja yang diketahui :

harga jual = 5000 (ada dalam soal)
harga jual dalam persen = 80%
harga awal = n (dimisalkan n dulu karena belum diketahui)
harga awal dalam persen = 100%

Sekarang gunakan model pertandingan.

Masukkan data yang diketahui ke dalam rumus di atas.

Kalikan silang
5000 × 100 = n × 80
Tanda % bisa dihilangkan jika sudah dimasukkan ke dalam perbandingan

Untuk mendapatkan "n", bagi 500.000 dengan 80

Nah...

Hasilnya sama, harga awal atau harga belinya Rp. 6.250,-

Baca juga ya :

Volume dan Luas

Luas selimut tabung 220 cm². Jika tingginya 5 cm, berapa jari-jarinya?

✔ de eka sas Comment

Variasi soal untuk luas tabung sangat banyak, salah satunya seperti yang akan dibahas sekarang. Diketahui luas selimut dan tingginya, yang ditanya adalah jari-jari.

Mari kita kerjakan soalnya.

Soal :

1. Diketahui luas selimut tabung 220 cm² dan tingginya 5cm.
Berapakah jari-jari tabungnya?
π = 22/7

Masih ingat rumus luas selimut tabung?
Luas selimut adalah hasil perkalian dari keliling lingkaran dan tingginya.

Luas selimut = keliling lingkaran × tinggi

Luas selimut = 2πr × t

Nah...
Rumus inilah yang akan digunakan untuk mencari berapa jari-jari tabung.

Mencari jari-jari tabung

Data yang diketahui pada soal adalah :

Luas selimut = 220 cm²
t = 5 cm

Masukkan data ini ke dalam rumus luas selimut.

Luas selimut = 2πr × t

220 = 2×²²∕₇×r × 5

220 = ²²⁰∕₇×r

Untuk mendapatkan r, bagi 220 dengan ²²⁰∕₇

r = 220 ÷ ²²⁰∕₇

ketika dibagi pecahan, tanda bagi menjadi kali dan pecahan dibelakang tanda bagi ditukar posisinya.

r = 220 × ⁷∕₂₂₀

r = 7 cm.

Jadi...

Jari-jari tabung yang dicari adalah 7 cm.

Soal :

2. Jika tinggi tabung dan luas selimutnya 10 cm dan 753,6 cm², hitunglah jari-jarinya!
π = 3,14.

Rumus yang digunakan masih sama seperti soal pertama, karena yang diketahui adalah luas selimut tabung.

Mencari jari-jari tabung

Diketahui :

Luas selimut = 753,6 cm²
t = 10 cm

Masukkan ke rumus luas selimut

Luas selimut = 2πr × t

753,6 = 2 × 3,14 × r × 10

753,6 = 62,8 × r

untuk mendapatkan r, bagi 753,6 dengan 62,8

r = 753,6 ÷ 62,8

r = 12 cm

Jari-jari tabung yang dimaksud adalah 12 cm.

Baca juga :