Home Posts filed under Deret
Showing posts with label Deret. Show all posts
Showing posts with label Deret. Show all posts

Antara 24 dan 40 Disisipkan 3 Bilangan Sehingga Membentuk Barisan Aritmetika. Berapa Ketiga Bilangan Itu?

✔ de eka sas Comment
Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki beda yang sama.



Jadi kita akan menggunakan konsep ini untuk mencari besar 3 bilangan penyusup antara 24 dan 40. Mari lanjutkan..


Contoh soal :

 1. Antara bilangan 24 dan 40 disisipkan 3 buah bilangan, sehingga membentuk barisan aritmetika. Berapakah nilai ketiga bilangan itu?


Sekarang kita akan menjawab soal ini..

Langkah 1 => Analisa soal

Antara 24 dan 40 disisipkan 3 bilangan, berarti sekarang ada 5 bilangan yang membentuk deretnya.

Misalkan ketiga bilangan itu adalah p, q dan r, maka deretnya menjadi :

24, p, q, r, 40.

Kemudian dari deret itu kita bisa menemukan petunjuk baru lagi.
Yaitu :
  • Suku pertama (a) = 24
  • Suku ke-lima = 40.


Langkah 2 => Mencari beda deret

Ingat, rumus untuk deret aritmetika adalah Un = a + (n-1)b

Un = suku ke-n.

  • Kalau U5 artinya suku ke-lima, dan "n" diganti dengan "5"
  • U4 artinya suku ke empat, dan "n" diganti dengan "4"

a = suku awal.
b = beda deret.

Dalam deret diatas, a = 24 dan U5 = 40.

Maka masukkan ke rumus Un.

Un = a + (n-1) b

U5 = a + (5-1) b

40 = 24 + 4b
  • 24 dipindahkan ke ruas kiri dan tandanya berubah menjadi (-24)
40-24 = 4b

16 = 4b
  • Untuk mendapatkan nilai dari b, maka angka di depannya harus 1
  • Karena angka di depan b masih 4, maka harus  dibagi 4 juga agar menjadi 1
  • 16 juga harus dibagi dengan 4

16/4 = 4b/4

4 = b

Jadi beda dari deret sudah kita dapatkan.

Langkah 3 => Mencari ketiga bilangan itu

p adalah suku ke-dua = U2
q adalah suku ke-tiga = U3
r adalah suku ke-empat = U4

Un = a + (n-1) b
U2 = 24 + (2-1) 4
U2 = 24 + 1.4
U2 = 24 + 4
U2 = 28


Un = a + (n-1) b
U3 = 24 + (3-1) 4
U3 = 24 + 2.4
U3 = 24 + 8
U3 = 32

Un = a + (n-1) b
U4 = 24 + (4-1) 4
U4 = 24 + 3.4
U4 = 24 + 12
U4 = 36

Sekarang deretnya menjadi => 24, 28, 32, 36, 40.

Selesai..


Baca juga :

Jumlah 3 Bilangan Genap Berurutan Adalah 42. Berapakah masing-masing Bilangan Itu?

✔ de eka sas Comment
Cara yang akan digunakan dalam menyelesaikan soal ini sangatlah mirip dengan soal yang sudah saya bahas sebelumnya.

jumlah tiga bilangan genap berurutan



Bisa dibaca disini ya : "Jumlah 3 Bilangan Ganjil Berurutan Adalah 45. Berapakah Nilai Ketiga Bilangan Itu?"

 Ok, mari kita lihat lagi soalnya ya..
Contoh soal :

 1. Tiga bilangan genap yang berurutan jika dijumlahkan maka hasilnya adalah 42. Berapakah nilai masing-masing bilangan itu?


Mari perhatikan langkah-langkah pengerjaan soal ini..


Langkah 1 => analisa awal

Diketahui 3 bilangan genap berurutan, ini artinya :
  • beda atau selisih dari bilangan genap adalah 2.
Jadi, kita bisa menentukan dengan memisalkan ketiga bilangan tersebut.
  • Misalkan bilangan pertama adalah "n"
  • Bilangan kedua = n + 2
  • Bilangan ketiga = bilangan kedua + 2 = n + 2 + 2 = n + 4
Permisalan sudah selesai..


Langkah 2 => mencari nilai n

Pada soal diketahui bahwa jumlah ketiga bilangan berutan tersebut adalah 42.
Ini artinya :

Bilangan 1 + bilangan 2  + bilangan 3 = 42

n +  (n + 2) + ( n + 4) = 42
  • Sekarang buka kurungnya
n + n + 2 + n + 4 = 42
  • ada tiga buah "n" dan jumlahkan semuanya, sehingga menjadi 3n
  • 2 dan 4 dijumlahkan sehingga menjadi 6
3n + 6 = 42
  • angka 6 sekarang dipindah ke ruas kiri dan tandanya berubah menjadi minus, sehingga menjadi (-6)
3n = 42 - 6

3n = 36
  • Untuk mendapatkan nilai dari "n", maka angka di depan "n" haruslah 1. Karena angka di depan "n" masih 3, maka harus dibagi dengan 3.
  • Ruas kanan juga harus dibagi dengan 3.

3n/3 = 36/3

n = 12.


Langkah 3 => mencari bilangan yang lain

Yea..
Bilangan pertama sudah diperoleh, yaitu n = 12.

Sekarang kita cari semuanya..
  • Bilangan pertama  adalah n = 12
  • Bilangan kedua adalah n + 2 = 12 + 2 = 14
  • Bilangan ketiga adalah n + 4 = 12 + 4 = 16.
Sekarang cobalah untuk menjumlahkan ketiga bilangan tersebut dan hasilnya pasti 42.

Silahkan dicoba..


Cara lain yang lebih mudah

Jika cara di atas dirasa masih susah, ini ada cara lain yang lebih mudah. Mari perhatikan lagi langkah-langkahnya.

Diketahui :
  • Jumlah tiga bilangan genap berurutan 42.

Nah...
Kita bagi 42 dengan 3.

Mengapa tiga?
Karena ada tiga bilangan yang dijumlahkan.

= 42 ÷ 3
= 14


Dengan cara ini, 14 adalah bilangan yang ditengah-tengah. 

Ingat ya!
Jumlah tiga bilangan dibagi tiga, hasilnya adalah bilangan yang ditengah

Sekarang giliran mencari bilangan pertama dan terakhir.
Tiga bilangan berurutan itu bisa dimisalkan sebagai : a, 14, b

Untuk mendapatkan a, maka 14 dikurangi 2.
Mengapa dikurangi dua?
Karena bilangan genap berurutan selisihnya 2.

a = 14 - 2
a = 12

Untuk mencari b, maka 14 ditambah dengan 2.

b = 14 + 2
b = 16.


Sehingga, ketiga bilangan itu adalah 12, 14 dan 16. 
Hasilnya sama dengan cara di atas.


Baca juga ya :

Jumlah 3 Bilangan Ganjil Berurutan Adalah 45. Berapakah Nilai Ketiga Bilangan Itu?

✔ de eka sas 3 Comments
Bilangan ganjil ini berurutan, ini artinya bahwa ketiganya membentuk suatu deret.

Deret yang dibentuk adalah deret aritmetika, karena bilangan ganjil memiliki "selisih 2" antara dua bilangan terdekat.


Mari kita lihat soalnya kembali..




Contoh soal :

 1. Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 45. Berapakah nilai dari masing-masing bilangan tersebut?

Nah, sekarang perhatikan langkah-langkah pengerjaan soal berikut..

Langkah 1 => Analisa awal

Ingat, bilangan ganjil memiliki beda 2 antara dua bilangan berurutan.

Sekarang bisa kita lakukan seperti ini :
  • Misalkan bilangan pertama adalah "n"
  • Bilangan kedua adalah "n + 2". Ingat bedanya selalu 2
  • Bilangan ketiga adalah bilangan kedua ditambah 2 lagi. Sehingga menjadi "n + 2 + 2" = n + 4
Langkah pertama sudah selesai, sekarang masuk ke  langkah kedua.


Langkah 2 => Mencari nilai "n"

Dalam soal diketahui bahwa jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 45, ini artinya..

Bilangan 1 + bilangan 2 + bilangan 3 = 45

n + (n + 2) + (n + 4) = 45

buka kurungnya

n + n + 2 + n + 4 = 45


  • n dijumlahkan dengan dua n lainnya 
  • dan 2 dijumlahkan dengan 4


3n + 6 = 45


  • 6 dipindahkan ke ruas sebelah dan tandanya berubah menjadi minus, sehingga menjadi (-6)


3n = 45 - 6

3n = 39


  • Untuk mendapatkan nilai "n", maka angka di depan "n" haruslah 1. 
  • Karena angka di depan n sekarang 3, untuk menjadi satu maka harus dibagi dengan 3 juga.
  • Kedua ruas harus dibagi dengan 3.

3n/3 = 39/3

n = 13


Langkah 3 => Mencari masing-masing bilangan

Yes..
Nilai "n" sudah diketahui, maka sekarang masing-masing bilangan bisa dicari..

Bilangan pertama = n = 13
Bilangan kedua    = n + 2 = 13 + 2 = 15
Bilangan ketiga    = n + 4 = 13 + 4 = 17.

Sekarang coba jumlahkan ketiganya, hasilnya pasti sama dengan 45..

Selesai..

Baca juga :

Mencari Beda Deret Aritmetika Jika Diketahui Rumus Sn (Jumlahnya)

✔ de eka sas 3 Comments
Mencari beda dengan menggunakan rumus Sn adalah sangat mudah sekali. Untuk lebih jelasnya mari perhatikan langkah-langkahnya..


Sebelumnya, mari kita tengok dulu soalnya seperti apa ya..


Contoh soal :

 1. Suatu deret aritmetika memiliki rumus Sn =2n2 + 2n. Berapakah beda dari deret tersebut?


Ok, mari perhatikan dulu cerita singkat dibawah ini..


Pengertian Rumus "Sn"

Kita coba bedah rumusnya satu per satu..

S1 = artinya jumlah 1 suku pertama, yaitu U1 saja.
Dalam hal ini S1 = U1 = Suku awal (a)

S2 = artinya adalah jumlah 2 suku pertama
S2 = U1 + U2      --------->> (ingat, U1 = S1 ), ganti U1
S2 = S1 + U2

S1 dipindah ke ruas kiri dan tandanya menjadi minus (-), sehingga hasilnya adalah..

S2 - S1 = U2

Begitu seterusnya jika dilakukan terhadap S3  .

U3 = S3 - S2

Sudah mengerti sampai disana ya..


Mencari nilai masing-masing Sn

Dengan menggunakan rumus Sn, kita akan mencari nilai 3 jumlah saja..

Sn =2n2 + 2n

S1 = 2n2 + 2n ------->> ("n" diganti dengan "1")

 = 2.12 + 2.1
= 2.1 + 2
= 2 + 2
= 4

 Ingat bahwa "S1 = U1 = Suku awal (a)"

 S2 = 2n2 + 2n ------->> ("n" diganti dengan "2")

 = 2.22 + 2.2
= 2.4 + 2,2
= 8 + 4
= 12

 S3 = 2n2 + 2n ------->> ("n" diganti dengan "3")

 = 2.32 + 2.3
= 2.9 + 6
= 18 + 6
= 24
Mencari tiga suku pertama

U1 = S1 = 4

 U2 = S2 - S1      
U2 = 12 - 4
U2 = 8

U3 = S3 - S2
U3 = 24 - 12
U3 = 12

 Jadi deret dari tiga suku pertama sudah diperoleh 
U1 U2 U3 =  4, 8 , 12..

Bedanya sangatlah mudah dicari sekarang..

Beda = U3 - U2

 = 12 - 8 
= 4

 Atau bisa mencari beda dengan rumus 
= U2 - U1
 = 8 - 4
= 4

 Nah, selesai..

 Beda deret yang dicari adalah 4.

Deret Aritmetika, x, (3x-3), (2x+3), 12, 15, Berapa Nilai Dari (2x + 5)?

✔ de eka sas Comment
Soal deret seperti ini sudah pernah dibahas dalam artikel saya sebelumnya dan bisa dibaca pada link berikut ini :

Silahkan baca soal tersebut sebagai perbandingan ya..




Dan sekarang kita membahas soal yang mirip tapi dengan cara sama namun kuncinya agak berbeda..

Bingung?
Ok, mari kita simak soal berikut ini...

Soal

Contoh soal :

 1. Suatu deret aritmetika mempunyai 5 suku pertama x, (3x - 3), (2x + 3), 12, 15. 
 Berapakah nilai dari (2x + 5)?


Yuk perhatikan langkah-langkah menyelesaikan soal ini..


Langkah 1 → mencari kunci soalnya

Deret aritmetika adalah deret yang mempunyai beda yang sama..

Mencari beda bisa dilakukan dengan mengurangkan suatu suku dengan suku sebelumnya, atau bisa ditulisakan seperti ini :

U2 - U1 = U3 - U2 = U4 - U3= U5 - U4

Kita harus menemukan nilai x, berarti bisa gunakan U2 - U1

Dan coba perhatikan lagi deretnya, deret ke-4 dan ke-5 tidak ada variabel "x"-nya, ini bisa digunakan untuk langsung mendapatkan bedanya.

Soal ini agak berbeda dengan soal yang sudah saya berikan linknya diatas.
Betul kan?

Berarti disini kita akan menggunakan beda dari U5 - U4   

Langkah 2 → Mencari "x"

Ingat bahwa : beda dari deret aritmetika adalah sama..

Jadi => U2 - U1 = U5 - U4

(3x - 3) - x = 15 - 12

3x - 3 - x = 15 - 12

3x - x - 3 = 3
  • Suku yang memiliki x bisa didekatkan agar memudahkan mengurangkan
  • 3x dan x

2x - 3 = 3

Pindahkan (-3) pada ruas kiri ke ruas kanan. Ini untuk mengumpulkan bilangan yang sejenis.
Ketika (-3) dipindah ruas, maka tandanya akan menjadi (+), sehingga menjadi (+3).

2x = 3 + 3

2x = 6

Untuk mendapatkan nilai "x", maka setiap ruas dibagi dengan "2" ( Dibagi dengan angka di depan x)

2x/2 = 6/2

x = 3

Jadi nilai "x" = 3.

Langkah 3 → Mencari "2x + 5"

Pada soal ditanyakan berapakah nilai dari 2x + 5 dan sekarang kita akan mencarinya..

2x + 5 = 2.3 + 5
           = 6 + 5
           = 11.

  • 2.3 artinya 2 dikali 3
Jadi itulah jawaban yang kita cari..
Selamat mencoba ya..

Oh ya!!

Coba deh ganti "x" ke dalam deret pada soal diatas, apakah mau membentuk barisan bilangan dengan beda 3?

Deret diatas urutannya adalah " 3, 6, 9, 12, 15".

Anda menemukan deret yang sama?
Pastinya dong!!

Alternatif mendapatkan x

Apakah masih ada cara lain untuk mencari x?
Tentu saja...

Ingat ya!
Karena deretnya aritmetika, beda deretnya selalu sama.

Beda diperoleh dengan mengurangkan dua suku berdekatan.

Beda = U₂ - U₁
Beda = U₃ - U₂

Karena beda selalu sama, kita bisa tulis seperti ini.

U₂ - U₁ = U₃ - U₂

Masukkan masing-masing suku :

(3x-3) - x = 2x+3 -(3x-3)

3x - 3 - x = 2x + 3 -3x + 3
  • Kita harus membuka kurung -(3x-3)
  • Caranya masing-masing suku di dalam kurung, 3x dan -3 harus dikalikan dengan tanda minus yang ada di luar/depan kurung
  • Sehingga menjadi -3x dan + 3
  • Sedangkan untuk (3x-3) yang warna merah, tanda kurungnya bisa langsung dibuka karena tidak ada tanda minus di depannya
3x - x - 3 = 2x - 3x + 3 + 3
  • Dekatkan suku-suku sejenis di masing-masing ruas agar mudah dijumlahkan
  • 3x didekatkan dengan -x
  • 2x didekatkan dengan -3x
2x - 3 = -x + 6
  • Pindahkan -x ke ruas kiri menjadi +x
  • Pindahkan -3 ke ruas kanan menjadi +3
  • Ini tujuannya untuk mengumpulkan suku-suku yang sejenis
  • Suku yang mengandung x dikumpulkan di ruas kiri sedangkan suku yang tidak mengandung x atau konstanta (hanya angka saja) ditempatkan di ruas kanan.
2x + x = 6 + 3

3x = 9
  • Untuk mendapatkan x, bagi 9 dengan 3
x = 9 ÷ 3

x = 3.

Nah...
Hasilnya sama kan dengan cara pertama. 
Silahkan pilih cara mana yang paling disukai.


Baca juga ya :

Deret Aritmetika, (2x-1), (3x+1),(6x - 1), Berapakah Nilai X + 4?

✔ de eka sas Comment
Deret aritmetika adalah suatu deret yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan.


Dan sekarang kita akan menyelesaikan persoalan dengan deret ini, tapi tipe soalnya berbeda..


Contoh soal :

 1. Suatu deret aritmetika mempunyai 3 suku pertama yang berbentuk (2x-1), ( 3x+1), (6x - 1). berapakah nilai dari x +4?


Mari kita kerjakan soal ini dengan menggunakan langkah-langkah berikut..


Langkah 1 => analisa soal

Deretnya berbentuk variabel x dan rumusnya tidak bisa ditentukan.

Jadi..
Satu-satunya bantuan yang bisa digunakan adalah dengan menggunakan "beda" dari deretnya.

Ingat!!
Beda dari deret aritmetika selalu sama ya...

Langkah 2 => mencari beda

Beda dari deret aritmetika adalah [ U2 - U1 = U3 - U2 ]

Persamaan inilah yang akan digunakan untuk mencari nilai x..

Langkah 3 => mencari nilai "x"

Mari kita gunakan persamaan diatas untuk mendapatkan nilai "x"

U1 = 2x - 1
U2 = 3x + 1
U4 = 6x - 1

Sekarang masuk ke persamaannya..

U2 - U1 = U3 - U2

(3x +1) - (2x - 1) = (6x - 1) - (3x + 1) .............(1)

Coba perhatikan tanda minus (-) di depan (2x - 1) dan (3x + 1).
Tanda minus ini digunakan untuk membuka kurungnya dan dikalikan ke semua angka..

Sehingga :
  • - (2x - 1) = -(2x) -(-1) = -2x + 1
  • - (3x + 1) = - (3x) - (+1) = -3x - 1

Dan persamaan (1) diatas sekarang menjadi..

3x + 1 - 2x + 1 = 6x - 1 - 3x - 1
(sesama varibel x dikumpulkan)

3x - 2x + 1 + 1 = 6x - 3x -1 - 1

x + 2 = 3x - 2

Sekarang perhatikan langkahnya :
  • "x" disebelah kiri dipindah ke kanan dan tandanya menjadi "-x"
  • -2 disebelah kanan dipindah ke kiri dan tandanya menjadi +2
  • Ketika berpindah tempat (melompati tanda =), maka tandanya akan berubah dari "minus" menjadi "plus" atau sebaliknya.
  • Ini ditujukan untuk mengumpulkan variabel "x" dengan "x" dan yang bukan variabel dengan sesamanya
Sehingga persamaan diatas menjadi :

x + 2 = 3x - 2

2 + 2 = 3x - x

4 = 2x (kedua ruas dibagi 2 agar mendapatkan nilai x)

4/2 = 2x/2

2 = x.

Jadi nilai "x" yang kita cari adalah 2.

Langkah 4 => mencari nilai "x + 4"

Kemudian kita akan mencari hasil akhir dari soal ini, yaitu nilai dari x + 4

x + 4 = 2 + 4 = 6.

Jawaban dari soal yang kita cari adalah 6..

Pembuktian

Kita akan memasukkan "x" ke dalam soal tadi sehingga mendapatkan deret dalam bentuk angkanya..

U1 = 2x - 1 = 2.2 - 1 = 4 - 1 = 3
U2 = 3x + 1 =  3.2 +1 = 6 + 1 = 7
U4 = 6x - 1 = 6.2 - 1 = 12 - 1 = 11

Sekarang kita susun deretnya..
3, 7, 11...

Bedanya sama bukan?
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4.

Terbukti sudah hasil soal ini dengan benar..

Cara Mudah Memahami "Rumus Suatu Deret"

✔ de eka sas Comment
Sekarang kita akan mempelajari bagaimana rumus suatu deret itu berfungsi. Deret adalah kumpulan angka-angka yang berurutan dengan aturan tertentu.


Dan kali ini, pembahasan difokuskan ke deret aritmetika saja ya. Untuk deret geometri penerapannya juga mirip, hanya berbeda rumus saja.

Kita coba rumusnya

 Ok, sekarang kita akan mencoba salah satu rumus dan memaknai apa saja yang ada di dalamnya..

 

Diketahui rumus suatu deret adalah "Un = 3n + 1". Tentukan 5 suku pertama dari tersebut!!


Perhatikan rumusnya..

Un = 3n + 1

Penjelasan :

  • Un adalah suku atau deret yang ke-n
  • U1 artinya deret ke-1, berarti n diganti dengan 1
  • U2 artinya deret ke-2, berarti n diganti dengan 2
  • U3 artinya deret ke 3, berarti n diganti dengan 3.
Nilai "n" mana yang diganti?

Pertanyaan yang bagus. 
"n" yang diganti adalah "n" pada rumus 3n + 1.

Sudah mengerti kan sekarang?

Mari kita jawab soalnya..

Un = 3n + 1

"3n sama artinya dengan 3 x n"

U1 => n diganti dengan 1
Un = 3n + 1
U1 = (3x1) + 1
U1 = 3 + 1
U1 = 4


U2 => n diganti dengan 2
Un = 3n + 1
U2 = (3x2) + 1
U2 = 6 + 1
U2 = 7

U3 => n diganti dengan 3
Un = 3n + 1
U3 = (3x3) + 1
U3 = 9 +  1
U3 = 10

U4 => n diganti dengan 4
Un = 3n + 1
U4 = (3x4) + 1
U4 = 12 + 1
U4 = 13

U5 => n diganti dengan 5
Un = 3n + 1
U5 = (3x5) + 1
U5 = 15 + 1
U5 = 16


Jadi, 5 suku pertama dari rumus deret "Un = 3n + 1" adalah 4, 7, 10, 13, 16.

Coba perhatikan deret diatas, selisih dari masing-masing suku adalah 3. Ini artinya deret tersebut memiliki beda 3.

Suku awal dari deret tersebut adalah 4. Suku awal itu sama dengan U1.

Bagaimana, sudah mengerti cara mengganti "n" dari suatu rumus deret?

Coba cari U20!!

Ingat, U20 artinya "n" diganti dengan 20. 
Berarti kita mencari suku yang letaknya di urutan ke-20.

Un = 3n + 1
U20 = (3x20) + 1
U20 = 60 + 1
U20 = 61

Sudah selesai..

Nah...
Itulah cara memahami rumus suatu deret. Jika ingin mencari suatu deret, tinggal ganti saja n dengan urutan deret yang diminta.

Soal tambahan

Baik...
Sekarang kita coba soal tambahan.

Cari lima suku pertama dari deret Un = 3n +7!

Langkahnya sama dengan soal di atas.
Lima suku pertama berarti cari dari suku pertama sampai suku ke-lima.

Un = 3n + 7
Un = 3×n + 7

Suku pertama :
Un = 3×n + 7
  • Ganti n dengan 1
U₁ = 3×1 + 7
U₁ = 3 + 7
U₁ = 10

Suku kedua :

Un = 3×n + 7
  • Ganti n dengan 2
U₂ = 3×2 + 7
U₂ = 6 + 7
U₂ = 13

Suku ketiga :

Un = 3×n + 7
  • Ganti n dengan 3
U₃ = 3×3 + 7
U₃ = 9 + 7
U₃ = 16

Suku ke-empat

Un = 3×n + 7
  • Ganti n dengan 4
U₄ = 3×4 + 7
U₄ = 12 + 7
U₄ = 19

Suku ke-lima

Un = 3×n + 7
  • Ganti n dengan 5
U₅ = 3×5 + 7
U₅ = 15 + 7
U₅ = 22


Baca juga ya :
Subscribe to: Posts (Atom)