Home Posts filed under Persamaan Kuadrat
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts

Cara mengalikan (x-3)(x+2)! Akar persamaan kuadrat.

✔ de eka sas Comment
Masih bingung dengan proses perkalian seperti soal ini?
Nah, di sini akan dibahas bagaimana mendapatkan hasilnya. Perhatikan dengan baik ya, jangan sampai terlewat satu langkah.



Ok...
Langsung kita coba soalnya.

Soal pertama


Soal:

1. Hitunglah hasil perkalian dari (x-3)(x+2)!


Hasil perkalian dari kedua bentuk di atas dikenal juga dengan "cara penjabaran". Artinya keduanya dikalikan sehingga tidak ada lagi bentuk di dalam kurung.


Proses perkalian

Kita ikuti tanda panahnya dan mengalikan satu per satu.


Dimulai dari x berwarna biru.
  • x warna biru dikalikan dengan x warna hitam.
    x×x = x²
  • Selanjutnya x warna biru dikalikan dengan +2
    x×(+2) = +2x
Perkalian untuk x warna biru sudah selesai dan sekarang dilanjutkan dengan mengalikan -3 warna oranye.
  • -3 dikalikan dengan x
    -3×x = -3x
  • -3 dikalikan dengan +2
    -3×(+2) = -6

Penyusunan hasil perkalian

Di atas sudah diperoleh empat hasil perkalian (yang diwarna merah), yaitu:
  • x²
  • +2x
  • -3x
  • -6
Terus, kita susun saja semuanya, deretkan seperti berikut.

= x² +2x-3x-6
  • 2x dan -3x bisa dikurangkan karena sama-sama memiliki x
  • 2x-3x = -x
    Tips!
    Kurangkan 2 dan 3, hasilnya -1
    Terus tambahkan x, menjadi -1x atau bisa ditulis -x saja.
  • x² tidak bisa dijumlahkan dengan 2x atau -3x, karena ada pangkat duanya. Jadi variabelnya tidak sama ya!
= x² - x - 6

Jadi...
(x-3)(x-2) = x² - x - 6

Bagaimana, sudah dimengerti??
Ulang lagi membacanya dari atas agar lebih paham lagi ya!

Soal kedua

Ok...
Kita coba soal berikutnya agar lebih paham cara perkalian seperti ini ya.

Soal:

2. Carilah hasil dari (2x-3)(x+4)!


Caranya masih sama dengan soal pertama.
Prosesnya sama ya, kita kalikan satu per satu.


Proses perkalian

Lihat lagi bentuk di bawah.





Mulai dari yang berwarna biru, yaitu 2x
  • 2x dikalikan dengan x
    2x×x = 2x²
  • Dilanjutkan dengan mengalikan 2x dengan +4
    2x×(+4) = +8x
Setelah selesai mengalikan 2x warna biru, sekarang giliran -3 warna oranye.
  • -3 dikalikan dengan x
    -3×x = -3x
  • -3 dikalikan dengan +4
    -3×(+4) = -12

Penyusunan hasil perkalian

Lihat yang diwarna merah, kita tulis lagi di bawah.
  • 2x²
  • +8x
  • -3x
  • -12
Susun ke-empatnya berjejer ke samping.

= 2x² +8x-3x-12
  • +8x dan -3x bisa dijumlahkan karena sama-sama memiliki x.
  • +8x-3x = +5x
= 2x² + 5x - 12

Jadi...
(2x-3)(x+4) = 2x² + 5x - 12

Nah...
Itulah cara mengalikan dua akar persamaan kuadrat. 
Semoga membantu ya!!



Baca juga ya:

Menggunakan Rumus abc Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat : 2x²-3x-9 = 0

✔ de eka sas Comment
Kali ini kita masih menggunakan rumus abc untuk menemukan akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat. Rumus ini bisa digunakan jika lupa dengan cara mencari akar yang lain.


Sebelumnya juga sudah dibahas cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara yang sama, yaitu rumus abc.

Rumus yang digunakan

Ok...
Kita tulis lagi rumus abc, rumus yang digunakan untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ini.



Lihat lagi rumus umum persamaan kuadrat.

ax²+bx+c=0

Keterangan :
  • a = angka di depan x²
  • b = angka di depan x
  • c = angka yang tidak memiliki variabel
Itulah rumus abc serta cara menentukan nilai dari masing-masing a, b dan c.

Soal pertama

Mari kita langsung coba rumusnya ke dalam soal.

Soal :

1. Hitunglah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut : 2x² - 3x  - 9 = 0 dengan menggunakan rumus abc!


Langkah pertama adalah menentukan nilai dari a, b dan c.

Menentukan a, b dan c

Tulis lagi persamaan kuadrat yang diketahui pada soal.

2x² - 3x  - 9 = 0

Sehingga :
  • "a" adalah angka di depan x² (warna merah)
    a = 2
  • "b" adalah angka di depan x (warna biru)
    b = -3 (tanda negatif ikut dipakai ya!)
  • "c" adalah angka yang tidak memiliki variabel atau tidak ada huruf disampingnya (warna oranye)
    c = -9 (tanda negatif dipakai ya)


Memasukkan a, b dan c ke dalam rumus abc

Sekarang masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus abc.


Ganti :
  • a = 2
  • b =-3
  • c = -9



Langkahnya :
  • -(-3) = +3 
    Atau bisa ditulis 3 saja
  • 9-(-72) = 9 + 72 = 81
  • √81 = 9


Mencari nilai masing-masing x

Setelah langkah di atas, kita bisa mencari nilai dari masing-masing x.

Perhatikan!
Pada langkah di atas ada tanda plus minus (±) di depan angka 9. Itu artinya kita kerjakan satu-satu. Gunakan penjumlahan dulu habis itu gunakan pengurangan.

Kita mulai dari penjumlahan.



Untuk x yang pertama diperoleh 3.

Selanjutnya cari x kedua.



Nilai x kedua diperoleh -³∕₂

Jadi...
Akar-akar persamaan kuadrat 2x²-3x-9 = 0 adalah 3 dan -³∕₂.

Bagaimana, paham kan dengan cara kerja rumusnya?
Kalau masih bingung, coba baca lagi dari atas ya!

Soal kedua

Baik...
Kita coba lagi soal kedua agar ada tambahan materi dan pemahaman.


Soal :

2. Dari persamaan kuadrat berikut, 3x² - 14x + 8 = 0, carilah akar-akarnya dengan menggunakan rumus abc?


Cara pengerjaan soalnya masih sama dengan soal pertama.

Menentukan a, b dan c

Lihat lagi persamaan kuadrat pada soal.

3x² - 14x  + 8 = 0

Sehingga :
  • "a" adalah angka di depan x² (warna merah)
    a = 3
  • "b" adalah angka di depan x (warna biru)
    b = -14 (ingat tanda minus harus digunakan!)
  • "c" adalah angka yang tidak memiliki variabel atau tidak ada huruf disampingnya (warna oranye)
    c = 8 (tanda plus boleh tidak ditulis)

Memasukkan a, b dan c ke dalam rumus abc

Nilai a, b dan c sudah diketahui dan masukkan semuanya ke dalam rumus abc.



Ganti :
  • a = 3
  • b = -14
  • c = 8

Mencari nilai masing-masing x

Setelah sampai di langkah tersebut, nilai masing-masing x bisa dicari.



Kita gunakan yang penjumlahan lebih dulu.
Nilai x yang pertama adalah 4.

Selanjutnya, untuk nilai x yang kedua gunakan pengurangan.



Untuk nilai x yang kedua diperoleh ²∕₃.

Jadi...
Diperoleh akar-akar persamaan kuadrat 3x² - 14x + 8 = 0 adalah 4 dan ²∕₃.

Nah...
Itulah cara mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc. Semoga membantu dan selamat belajar ya!


Baca juga ya :

Mencari akar persamaan kuadrat dengan rumus abc, x² + 2x - 15 = 0

✔ de eka sas Comment
Untuk mendapatkan akar dari persamaan kuadrat bisa dengan beberapa cara, salah satunya lewat rumus abc.  



Kok disebut rumus abc?
Karena kita menggunakan komponen-komponen yang disebut dengan a, b dan c pada persamaan kuadratnya.

Konsep soal

Sebelum menjawab soal, kita perhatikan dulu apa yang dimaksud dengan a, b dan c. Dari mana komponen tersebut berasal.

Rumus umum persamaan kuadrat adalah : ax² + bx + c = 0

Keterangan :
  • "a" adalah angka di depan x²
  • "b" adalah angka di depan x
  • "c" adalah angka yang tidak memiliki huruf.
Dari sanalah datang nilai a, b dan c.

Akar-akar persamaan kuadrat ini bisa diperoleh dengan menggunakan rumus abc yang bentuknya seperti di bawah.



Keterangan :
  • 4ac = 4×a×c
  • 2a = 2×1
Rumus inilah yang akan kita gunakan untuk mencari akar persamaan kuadrat pada pembahasan kali ini.

Soal

Sekarang kita terapkan rumus di atas untuk mendapatkan jawaban dari soalnya.


Soal :

1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut : x² + 2x - 15 = 0!


Untuk pembahasan ini, kita hanya menggunakan rumus abc demi mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat.

Menentukan a, b dan c

Tentukan dulu masing-masing nilai dari a, b dan c menggunakan persamaan kuadrat yang diketahui. Ayo lihat lagi persamaan kuadratnya.

x² + 2x - 15 = 0
  • Karena di depan x² tidak ada angka, bisa ditulis menjadi 1x²
1x² + 2x - 15

Nilai a, b dan c masing-masing :
  • a = angka di depan x² (berwarna merah) = 1
  • b = angka di depan x (berwarna orange) = 2
  • c = angka yang tidak memiliki huruf (warna biru) = -15
    Untuk c, tanda minus diikutkan ya.

Sudah jelas cara menentukan a b c-nya?
Mudah ya.


Menggunakan rumus abc

Nilai a, b dan c dimasukkan ke rumus abc.



Penjelasan :
  • 4×1×(-15) = -60
  • 4-(-60) = 4 + 60

  • √64 = 8



Nilai x ada dua.
Kita cari satu per satu.

Perhatikan!
Diantara -2 dan 8 ada tanda ±.

Maksud tanda itu adalah :
  • Untuk mendapatkan x₁ kita gunakan tanda tambah (+) dulu
  • Untuk mendapatkan x₂, kita gunakan tanda kurang (-)



  • -2 dijumlahkan dengan 8 lebih dulu.
  • Kita dapatkan x yang pertama adalah 3


Selanjutnya nilai x yang kedua, caranya dengan mengurangkan -2 dan 8.



Akhirnya diperoleh nilai x yang kedua adalah -5.

Kesimpulan.
Diperoleh dua nilai x untuk persamaan kuadrat di atas. 
  • x₁ = 3
  • x₂ = -5

Itulah caranya mendapatkan nilai x menggunakan persamaan kuadrat.

Soal kedua

Selanjutnya kita coba soal berikutnya.
Masih menggunakan rumus abc.



Soal :

2. Persamaan kuadrat 2x² - 9x - 5 = 0!


Lebih dulu tentukan nilai a, b dan c.

Menentukan a, b dan c

Tulis lagi persamaan kuadratnya.

2x² - 9x - 5 = 0

2x² - 9x - 5

Nilai a, b dan c masing-masing :
  • a = angka di depan x² (berwarna merah) = 2
  • b = angka di depan x (berwarna orange) = -9
  • c = angka yang tidak memiliki huruf (warna biru) = -5
Jika ada tanda negatif (-) di depan angka, maka nilainya juga harus negatif. Seperti -9 dan -5 di atas ya!


Mencari nilai x

Ini adalah nilai dari a, b dan c.
  • a = 2
  • b = -9
  • c = -5
Masukkan data-data itu ke dalam rumus abc.



Kemudian...
Kita cari satu-satu dengan menjumlahkan kemudian disusul dengan pengurangan.



Mulai dari x pertama.
Gunakan yang penjumlahan dulu.





Selanjutnya x kedua.
Yang ini gunakan pengurangan.



Nah...
Kita sudah mendapatkan kedua nilai x-nya.

  • x₁ = 5
  • x₂ = -½

Semoga membantu ya dan selamat belajar.

Baca juga ya :

Mencari himpunan penyelesaian (HP) persamaan kuadrat dengan rumus ABC

✔ de eka sas Comment

Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat, ada beberapa cara yang bisa dilakukan.

Dan kali ini kita akan fokus membahas cara rumus ABC.


Kok disebut rumus ABC?

Persamaan kuadrat memiliki rumus umum. Masih ingatkah?
Berikut bentuknya.

ax² + bx + c = 0

Keterangan :

  • "a" adalah angka di depan x²
  • "b" adalah angka di depan x
  • "c" adalah angka yang tidak memiliki variabel atau huruf x.
Rentetan ABC inilah yang mendasari nama rumus yang satu ini.

Soal 

Ok...
Sekarang kita masuk ke dalam soalnya.

Soal :

1. Hitunglah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x² + x - 12 = 0


Catat lagi persamaan kuadratnya.

x² + x - 12 = 0

Tulis yang termasuk a, b dan c.
  • "a" adalah angka di depan x².
    Karena tidak tertulis angka apapun di depannya, berarti a = 1
  • "b" adalah angka di depan x
    Di depan x juga tidak ada angka yang tertulis, berarti b = 1.

  • "c" adalah angka yang tidak ada hurufnya, c = -12.
    Tanda minusnya ikut ya, jangan ditinggalkan.

 

Jika tidak ada angka yang tertulis dan terlihat hanya huruf x saja, maka angkanya pasti 1.

Rumus ABC

Bentuk rumus abc sebagai berikut :





Menentukan himpunan penyelesaian

Sekarang masukkan masing-masing nilai a, b dan c ke dalam rumusnya. Nanti kita akan mendapatkan masing-masing nilai x.




Masukkan :
  • a = 1
  • b = 1
  • c = -12

Dan kita akhirnya mendapatkan bentuk di atas.



Selanjutnya...



Untuk mendapatkan x₁, kita gunakan yang penjumlahan atau tanda +.

Coba lihat di rumusnya, kan ada tanda ± dibelakang "-b". Nah, tanda itu maksudnya bisa dipecah menjadi penjumlahan dan pengurangan.

Dalam x₁ yang menggunakan penjumlahan, kita mendapatkan nilai 3.





Sekarang gunakan yang pengurangan untuk mendapatkan x₂




Untuk yang ini kita dapatkan nilainya adalah -4.


Jadi....
Himpunan penyelesaian dari persamaan x² + x - 12 = 0 adalah HP = { x = 3 atau x = -4)


Cara alternatif

Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Cara yang paling populer adalah pemfaktoran.
Jika pemfaktoran dirasa susah, rumus inilah menjadi andalan.

Bagaimanapun bentuk persamaan kuadrat, asalkan diskriminannya (D) lebih atau sama dengan dari nol, hasilnya ada.
Bisa berbentuk desimal atau pecahan.

Rumus ini sangat ampuh.

Nah...
Jika bertemu dengan soal seperti ini dan cara pemfaktoran sangat susah, langsung saja terapkan rumusnya dan hasilnya bisa langsung diperoleh.

Selamat mencoba ya.


Baca juga ya :

Mencari titik puncak parabola x2 -4x + 3

✔ de eka sas Comment
Ketika diberikan persamaan parabola, salah satu soal yang dimunculkan adalah berapa titik puncaknya.


Itu mudah sekali.
Dan kita akan mencoba mengerjakan soalnya di bawah ini.


Soal :

1. Carilah titik puncak dari persamaan parabola y = x² - 4x + 3!


Dalam persamaan parabola, ada istilah "a", "b" dan "c".
Ini harus dipahami dulu agar memudahkan perhitungan.

Rumus umum parabola adalah : y = ax² + bx + c

Artinya adalah :

  • a = angka di depan x²
  • b = angka di depan x
  • c = angka yang tidak memiliki huruf atau koefisien, disebut dengan konstanta.

Ok...
Jelas sampai disana ya...


Menentukan a, b dan c dari soal

Kita lihat lagi persamaan soalnya...

y = x² - 4x + 3

  • a = 1, karena di depan x² tidak ada angka yang terlihat, itu pastilah 1
  • b = -4, angka di depan x
  • c = 3, angka yang tidak ada huruf atau variabel.



Mencari titik puncak

Sekarang kita sudah mendapatkan nilai dari a, b dan c.
Titik puncaknya bisa dicari.

Hitung nilai x titik puncak dulu, rumusnya sebagai berikut.


Masukkan nilai b dan a ke dalam persamaan.


Minus bertemu dengan minus menjadi positif.


Nilai x sudah diperoleh.



Kita bisa mencari nilai y sekarang.

Persamaannya bisa ditulis seperti ini.

y = x² - 4x + 3

  • ganti x = 2 untuk mendapatkan y
  • sesuai dengan hasil perhitungan x di atas ya.

y = 2² - 4.2 + 3

y = 4 - 8 + 3

y = -1.




Nilai x dan y sudah diperoleh :

  • x = 2
  • y = -1

Titik puncaknya adalah (x,y) = (2,-1).
Inilah puncak dari parabola yang dicari.






Soal :

2. Titik puncak dari persamaan parabola y = 3x² + 6x -1!


Masih menggunakan cara yang sama dengan soal pertama.


Menentukan a, b dan c dari soal

Kita lihat lagi persamaan soalnya...

y = 3x² + 6x - 1

  • a = 3
  • b = 6
  • c = -1



Mencari titik puncak

Hitung nilai x titik puncak dengan rumus ini!


Masukkan nilai b dan a ke dalam persamaan.





Nilai x sudah diperoleh dan sekarang kita bisa menghitung nilai y.


y = 3x² + 6x - 1

y = 3.(-1)² + 6.(-1) - 1

y = 3.1 - 6  - 1

y = 3 - 6 - 1

y = -4





Nilai x dan y sudah diperoleh :

  • x = -1
  • y = -4

Titik puncaknya adalah (x,y) = (-1,-4).


Baca juga ya :

Hitunglah nilai x pada 4x + 4 > 2x + 8

✔ de eka sas Comment
Menghitung nilai x pada suatu pertidaksamaan langkahnya sama dengan mendapatkan x pada suatu persamaan.



Tapi ada perbedaan sedikit.
Jika dibagi dengan tanda minus, maka tanda pertidaksamaan terbalik. Nanti akan dijelaskan lagi pada soalnya.

Soal :

1. Hitunglah nilai x pada pertidaksamaan berikut : 4x + 4 > 2x + 8!


Kita tuliskan soalnya lagi..

4x + 4 > 2x + 8


  • Kumpulkan suku yang sejenis
  • Yang ada "x", kita kumpulkan disebelah kiri dan yang tidak ada "x" dikumpulkan disebelah kanan

Sehingga :
  • Pindahkan 2x ke ruas kiri sehingga menjadi -2x
  • pindahkan +4 ke ruas kanan sehingga menjadi -4

4x - 2x > 8 - 4

2x > 4

  • Untuk mendapatkan "x", bagi 4 dengan 2

x  > 4 ÷ 2

x > 2

Jadi, nilai x yang digunakan haruslah lebih dari 2 (x>2), agar pertidaksamaan tersebut bernilai benar. 

Himpunan penyelesaian dari x > 2 = {3,4,5,6,.....}

Kita tidak boleh menggunakan 2 karena tidak ada tanda sama dengan dibawah tanda ">". Jika tandanya seperti ini "≥", maka 2 harus dipakai.




Soal :

2. Nilai x pada x - 5 < 3x + 7 adalah...


Ok..
Kita coba soal berikutnya..

x - 5 < 3x + 7


  • Kumpulkan suku yang ada "x" disebelah kiri dan yang tidak ada "x" disebelah kanan
  • Pindahkan 3x ke ruas kiri menjadi -3x
  • Pindahkan -5 ke ruas kanan menjadi +5

x - 3x < 7 + 5

-2x < 12

  • Untuk mendapatkan x, maka 12 harus dibagi dengan -2

x > 12 ÷ -2


Perhatikan!!
  • Tanda yang sebelumnya "<" sekarang menjadi ">"
  • Itu karena dibagi oleh tanda negatif (-) dari -2, maka pertidaksamaan mengalami perubahan
  • Jika sebelumnya "<", akan menjadi ">". Jika sebelumnya ">" akan menjadi "<".

Jelas ya..

x > -6


Himpunan penyelesaian dari x > -6 = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,....}
-6 tidak ikut karena dibawah tanda > tidak ada tanda sama dengan.



Baca juga :

Mencari faktor dari x2+12x

✔ de eka sas Comment
Mencari faktor dengan bentuk seperti ini, kita hanya perlu mengeluarkan suku yang bisa membagi keduanya.


Mari perhatikan contohnya agar semakin mudah dimengerti.


Soal :

1. Carilah faktor dari x² + 12x !!


Sekarang, kita tinggal mencari suku yang bisa membagi x² dan juga 12x. Setelah diperoleh, pembaginya diletakkan diluar kurung.

  • Di depan x² tidak ada angka dan 12x ada angka yaitu 12, berarti angka tidak bisa digunakan untuk membagi karena salah satu tidak memiliki angka, yaitu x²
Kemudian kita lihat hurufnya (variabel) :
  • Keduanya ternyata sama-sama memiliki huruf (variabel), yaitu x.
  • Jika dibagi dengan x², 12x tidak habis dibagi x², jadi kita gunakan x saja.
  • x² habis dibagi x
  • 12x juga habis dibagi x

Sehingga, "x" adalah pembagi yang dicari.

= x² + 12x
  • karena keduanya bisa dibagi "x", maka "x"-lah yang diluar kurung
= x(x + 12)
  • Untuk mendapatkan yang di dalam kurung, bagi x² dengan x = x
  • bagi 12x dengan x = 12.

Jadi faktor dari x² + 12x = x(x+12)




Soal :

2. Tentukanlah faktor dari 2x² + 12x !!


Langkahnya sama dengan soal pertama..

  • 2x² dan 12x sama-sama memiliki angka, yaitu 2 dan  12.
  • 2 dan 12 sama-sama bisa dibagi 2.
  • jadi kita sudah mendapatkan satu pembaginya, yaitu 2

Lihat hurufnya (variabel) :
  • 2x² dan 12x sama-sama memiliki huruf x
  • yang bisa membagi x² dan x adalah x
  • kita dapatkan lagi pembagi hurufnya, yaitu x


Sehingga suku pembagi yang lengkap adalah 2x


= 2x² + 12x
  • keduanya dibagi 2x dan 2x bisa dikeluarkan atau diletakkan di luar kurung
= 2x (x + 6)
  • bagi 2x² dengan 2x = x
  • bagi 12x dengan 2x = 6
  • x dan 6 diletakkan di dalam kurung

Sehingga faktor dari 2x² + 12x = 2x(x+6)



Soal :

3. Hitunglah faktor dari 3x² -9x !!


Kita cari pembaginya dulu..

  • 3x² dan 9x sama-sama memiliki angka, yaitu 3 dan 9
  • 3 dan 9 sama-sama bisa dibagi 3.
  • Jadi kita sudah dapatkan satu pembaginya yaitu 3.

Terus :
  • 3x² dan 9x sama-sama memiliki x
  • x² dan x hanya bisa dibagi oleh x

Sehingga pembagi lengkapnya adalah 3x


= 3x² - 9x
  • 3x² dibagi 3x = x
  • 9x dibagi 3x = 3
  • tandanya sesuai dalam soal, yaitu kurang (-)


= 3x(x-3)




Soal :

4. Carilah faktor dari 6x² -2x !!


6x² dan 2x sama-sama bisa dibagi 2x (silahkan hitung sendiri ya!!)

Jadi faktornya :


= 6x² - 2x
  • 6x² dibagi 2x = 3x
  • 2x dibagi 2x = 1
  • tandanya sama, yaitu kurang (-)


= 2x (3x - 1)



Baca juga :
Subscribe to: Posts (Atom)