Solusi Matematika: Volume dan Luas

Home Posts filed under Volume dan Luas

Showing posts with label Volume dan Luas. Show all posts

Persegi dan Persegi Panjang Saling Berpotongan, Luas Diarsir 100 cm², Berapa Luas yang Tidak Diarsir?

✔ de eka sas 2 Comments

Kita akan mencari luas yang tidak diarsir dari perpotongan persegi dan persegi panjang. Nanti akan diberikan rumus yang berlaku.

Biar lebih mantap, kita lihat dulu soalnya..

Soal :

1. Sebuah persegi dan persegi panjang saling berpotongan dan menghasilkan daerah yang diarsir. Jika sisi persegi 20 cm, panjang dan lebar persegi panjang 15 cm dan 10 cm, dan diketahui luas diarsir 100 cm², berapakah luas yang tidak diarsir?

Mari perhatikan gambarnya..

Diketahui :

sisi persegi = 20 cm
panjang dan lebar persegi panjang 15 cm dan 10 cm
luar diarsir adalah yang berwarna biru

Untuk mendapatkan luas yang tidak diarsir, maka rumus yang digunakan adalah sebagai berikut.

Luas total = luas tidak diarsir + 2×luas diarsir

Inilah rumus yang menjadi panduan kita.

Mencari luas total

Luas total adalah luas dari persegi dan persegi panjang. Jadi keduanya tinggal dijumlahkan saja dan kita mendapatkan luas totalnya.

Luas total = luas persegi + luas persegi panjang

Luas total = (s × s) + (p × l)

s = 20 cm
p = 15 cm
l = 10 cm

Luas total = (20 × 20) + (15 × 10)

Luas total = 400 + 150

Luas total = 550 cm²

Mencari luas tidak diarsir

Kita sudah mendapatkan luas total dan sudah diketahui luas diarsir. Gunakan rumus diatas untuk mencari luas tidak diarsir.

Luas total = luas tidak diarsir + 2×luas diarsir

Diketahui :

Luas total = 550 cm²
luas arsir = 100 cm²

Langsung masukkan ke dalam rumus..

Luas total = luas tidak diarsir + 2×luas diarsir

550 = luas tidak diarsir + 2×100

550 = luas tidak diarsir + 200

pindahkan +200 ke ruas kiri menjadi -200

550 - 200 = luas tidak diarsir

Luas tidak diarsir = 550 - 200

Luas tidak diarsir = 350 cm²

Jadi luas yang tidak diarsir pada soal pertama adalah 350 cm². Perhatikan rumus yang digunakan dan kitapun bisa mencari apa yang ditanyakan..

Baca juga :

Soal :

2. Sebuah persegi dan persegi panjang saling berpotongan dan menghasilkan daerah yang diarsir. Jika sisi persegi 40 cm, panjang dan lebar persegi panjang 30 cm dan 20 cm, dan diketahui luas tidak diarsir 1500 cm², berapakah luas yang diarsir?

Diketahui :

sisi persegi = 40 cm
panjang dan lebar persegi panjang 30 cm dan 20 cm

Untuk mendapatkan luas yang diarsir, maka rumus yang digunakan masih sama dengan soal pertama. Hanya yang ditanyakan saja yang berbeda.

Luas total = luas tidak diarsir + 2×luas diarsir

Mencari luas total

Luas total adalah luas dari persegi dan persegi panjang.

Luas total = luas persegi + luas persegi panjang

Luas total = (s × s) + (p × l)

s = 40 cm
p = 30 cm
l = 20 cm

Luas total = (40 × 40) + (30 × 20)

Luas total = 1600 + 600

Luas total = 2200 cm²

Mencari luas diarsir

Lihat lagi rumusnya :
Luas total = luas tidak diarsir + 2×luas diarsir

Diketahui :

Luas total = 2200 cm²
luas tidak diarsir = 1500 cm²

Langsung masukkan ke dalam rumus..

Luas total = luas tidak diarsir + 2×luar diarsir

2200 = 1500 + 2×luas diarsir

pindahkan 1500 ke ruas kiri menjadi -1500

2200 - 1500 = 2×luas diarsir

700 = 2×luas diarsir

untuk mendapatkan luas diarsir, bagi 700 dengan 2

700 : 2 = luas diarsir

350 = luas diarsir

Jadi luas diarsir yang ditanyakan adalah 350 cm²

Baca juga :

Volume dan Luas

Mencari Volume Kerucut Yang Terpotong

✔ de eka sas Comment

Bentuk dari kerucut yang terpotong, sangat mirip dengan ember yang sehari-hari kita gunakan. Nah inilah yang akan dicari volumenya.

Soal :

1. Sebuah benda (kerucut terpotong), memiliki jari-jari kecil dan jari-jari besar masing-masing 3 cm dan 6 cm. Tingginya 4 cm.

Berapakah volume dari benda tersebut?

Gambar dari benda tersebut bisa dilihat dibawah ini..

Untuk mendapatkan volumenya, kita harus membaginya menjadi dua buah kerucut, yaitu kerucut besar dan kerucut kecil.

Gambar asli kita panjangkan ke atas, sehingga menjadi kerucut yang lebih kecil.

Kerucut kecil = ABC
Kerucut besar = ADE

Volumenya dicari dengan cara mengurangkan kerucut besar dengan kerucut kecil, maka isi bendanya bisa ditemukan.

Tapi ada masalah..

Kita belum tahu berapa tinggi kerucut kecil kan?

Tinggi kerucut kecil

Saya akan memberikan rumus singkat untuk mendapatkan tinggi kerucut kecil.

Rumusnya adalah :

t = tinggi kerucut kecil
n = tinggi benda
r1 = jari-jari kerucut kecil
r2 = jari-jari kerucut besar

Rumus ini berlaku untuk mencari tinggi kerucut kecil, asalkan jangan sampai salah menempatkan jari-jari kecil dan besarnya ya.

Sekarang masukkan :

n = 4 cm
r1 = 3 cm
r2 = 6 cm

Diperoleh tinggi kerucut kecil, t = 4 cm.

Mencari volume kerucut kecil (ABC)

Volume kerucut = ⅓ πr²t

Untuk kerucut kecil :

r = 3 cm
t = 4 cm

Volume = ⅓ πr²t

Volume = ⅓ × π × 3² × 4

Volume = ⅓ × π × 36

Volume = 12π cm³

Mencari volume kerucut besar (ADE)

Volume kerucut = ⅓ πr²t

Untuk kerucut besar :

r = 6 cm
t = 8 cm

Tingginya adalah dari dasar sampai atas, dan pada gambar diatas tinggi kerucut besar adalah :

t = 4 + n

t = 4 + 4

t = 8 cm

Volume = ⅓ πr²t

Volume = ⅓ × π × 6² × 8

Volume = ⅓ × π × 36 × 8

Volume = 96π cm³

Mencari volume benda

Volume benda = volume kerucut besar - volume kerucut kecil

Volume benda = 96π - 12π

Volume benda = 84π cm³

ganti π = 3,14

Volume benda = 84 × 3,14

Volume benda = 263,76 cm³

Jadi volume benda yang kita cari adalah 263,76 cm³

Baca juga :

Volume dan Luas

Volume Bola 30 cm². Jika Jari-jari Dijadikan 2kali Semula, Berapa Volumenya Sekarang?

✔ de eka sas Comment

Mari kita langsung kerjakan soalnya..

Soal :

1. Sebuah bola memiliki volume 30 cm². Jika jari-jari bola ini dijadikan 2 kali semula, berapakah volumenya sekarang?

Kita bagi kondisi bola menjadi dua, yaitu bola pertama dan bola kedua.

Kondisi bola pertama adalah :

volume = 30 cm²
jari-jari = r

Sekarang kita masuk ke bola kedua, kondisinya adalah :

volume =...?
jari-jari = dua kali jari-jari pertama = 2r.

Ini bisa diselesaikan dengan dua cara dan keduanya akan dibahas sebagai perbandingan, apakah hasilnya sama atau tidak.

Cara pertama

Kita akan mencari berapa jari-jari dari kondisi pertama..

volume bola = ⁴/₃πr³

ganti volume bola dengan 30

30 = ⁴/₃πr³

empat per tiga dipindah ke ruas kiri sehingga menjadi kali dan posisinya berubah menjadi 3 per 4

30 × ³/₄ = πr³

phi dipindahkan ke ruas kiri sehingga menjadi pembagi.

Sekarang r sudah diperoleh dan kita bisa mencari jari-jari bola kedua.

Jari-jari bola kedua adalah dua kali jari-jari pertama =2r.

Jari-jari bola kedua adalah..

Kita cari volume bola kedua..

Volume = ⁴/₃π(r₂)³

ganti r₂ dengan hasil diatas..

90 per 4 phi akar tiga, jika dipangkat tiga-kan, hasilnya menjadi 90 per 4 phi.
2 pangkat tiga hasilnya 8

coret 4 dengan 4
phi dengan phi
90 dengan 3

Hasilnya 240 cm³

Cara kedua

Nah, yang ini akan menggunakan cara perbandingan. Agak sedikit berbeda dengan diatas tapi hasilnya sama..

Ayo kita buktikan..

⁴/₃ bisa dicoret dengan ⁴/₃
phi dicoret dengan phi

Hasilnya seperti dibawah..

Ingat!! Jari-jari bola kedua adalah 2 kali bola pertama
r₂ = 2r

2r pangkat tiga, hasilnya adalah 8r³
r³ bisa dicoret.

ganti volume 1 dengan 30 cm³, sesuai soal
kalikan silang 30 dengan 8, volume 2 dengan 1

Hasilnya diperoleh bahwa volume 2 = 240 cm³.

Sama kan dengan cara pertama?

Baca juga :

Volume dan Luas

Suatu Tabung Memiliki Luas Selimut 880 cm² dan Tingginya 10 cm. Berapa Volumenya?

✔ de eka sas Comment

Karena diketahui luas selimut, maka data ini akan digunakan untuk menemukan unsur yang belum diketahui. Masih ingat dengan rumus selimut tabung?

Mari kita kerjakan soalnya..

Contoh soal :

1. Sebuah tabung memiliki luas selimut 880 cm² dan tingginya 10 cm. Berapakah volumenya? (π = ²²/₇)

Diketahui dalam soal luas selimut = 880 cm² dan tinggi 10 cm.

Kita gunakan rumus luas selimut untuk mendapatkan jari-jari tabung, sehingga volumenya bisa dihitung.

Luas selimut = 2πrt

ganti luas selimut dengan 880
ganti tinggi dengan 10

880 = 2 × ²²/₇ × r × 10

880 = ⁴⁴⁰/₇ × r

untuk mendapatkan r, bagi 880 dengan 440 per 7

r = 880 : ⁴⁴⁰/₇

ubah tanda bagi menjadi kali dan 7 diatas sedangkan 440 dibawah.

r = 880 × ⁷/₄₄₀

bagi 880 dengan 440 hasilnya2, kemudian kalikan dengan 7 dan hasilnya 14

r = 14 cm.

Jari-jari sudah diperoleh, sekarang kita bisa mencari volume dari tabung..

Volume tabung

Volume tabung = πr² × t

Volume tabung = ²²/₇ × 14² × 10

Volume tabung = 6160 cm³

Contoh soal :

2. Sebuah tabung memiliki luas selimut 628 cm² dan tingginya 10 cm. Berapakah volumenya? (π = 3,14)

Diketahui dalam soal luas selimut = 628 cm² dan tinggi 10 cm.

Luas selimut = 2πrt

ganti luas selimut dengan 628
ganti tinggi dengan 10

628 = 2 × 3,14 × r × 10

628 = 62,8 × r

untuk mendapatkan r, bagi 628 dengan 62,8

r = 628 : 62,8

ubah 62,8 menjadi pecahan sehingga menjadi 628 per 10

r = 628 : ⁶²⁸/₁₀

r = 628 × ¹⁰/₆₂₈

bagi 628 dengan 628 hasilnya 1, kemudian kalikan dengan 10

r = 10 cm.

Volume tabung

Volume tabung = πr² × t

Volume tabung = 3,14 × 10² × 10

Volume tabung = 3140 cm³

Baca juga :

Volume dan Luas

Suatu Tabung Memiliki Luas Alas 30 cm² dan Tinggi 5 cm. Berapa Volumenya?

✔ de eka sas 1 Comment

Masih ingat dengan volume tabung?

Baik kalau masih ingat, tidak ada salahnya saya ingatkan lagi ya!!
Rumus volume tabung = πr²×t.

Nah, dalam soal diatas diketahui luas alasnya dan alas dari tabung berbentuk lingkaran. Berarti kita harus mencari jari-jarinya dulu ya?

Boleh..
Tapi itu kelamaan..

Karena kita melakukan perhitungan sebanyak dua kali dan ini pastinya membuang waktu. Untuk itu saya akan menjelaskan bagaimana mencari luas dari sebuah tabung jika diketahui luas alas dan tingginya.

Contoh soal :

1. Sebuah tabung memiliki luas alas 30 cm² dan tingginya 5 cm. Berapakah volume dari tabung tersebut?

Diatas sudah saya jelaskan kalau anda ingin mencari jari-jarinya (r) lebih dulu, boleh kok. Tapi itu pemborosan waktu.

Mengapa?

Mari perhatikan luas alas dan rumus tabungnya.
Alas tabung berbentuk lingkaran, dan luasnya adalah πr².

Sekarang perhatikan rumus volume tabung :

Volume = (πr²)×t

Coba perhatikan yang ada dalam kurung pada rumus diatas, bukankah itu luas dari lingkaran?

Betul sekali..
Anda tidak perlu lagi untuk mencari jari-jari jika sudah diketahui luas alasnya.

Langsung saja masukkan luas alasnya untuk mengganti πr² dan tinggal dikalikan saja dengan tingginya, volume tabung ditemukan.

Secara umum, rumus volume adalah luas alas x tinggi.

Volume tabung = luas alas × tinggi
Volume tabung = πr² × t

Volume tabung = 30 cm² × 5 cm
Volume tabung = 150 cm³

Nah, volume tabung yang dimaksud adalah 150 cm³

Contoh soal :

2. Sebuah tabung memiliki luas alas 45 cm² dan tingginya 6 cm. Berapakah volume dari tabung tersebut?

Diatas sudah dijelaskan bagaimana mencari volume tabung jika sudah diketahui luas alas dan tingginya. Sekarang kita bisa langsung mencari volumenya dengan cepat.

Diketahui :

luas alas 45
tinggi 6

Volume tabung = luas alas × tinggi
Volume tabung = πr² × t

Volume tabung = 45 cm² × 6 cm
Volume tabung = 270 cm³

Contoh soal :

3. Sebuah tabung memiliki luas alas 50 cm² dan tingginya 7 cm. Berapakah volume dari tabung tersebut?

Diketahui :

luas alas 50
tinggi 7

Volume tabung = luas alas × tinggi
Volume tabung = πr² × t

Volume tabung = 50 cm² × 7 cm
Volume tabung = 350 cm³

Nah, seperti itulah cara mencari volume tabung jika diketahui luas alas dan tingginya. Tinggal dikalikan saja dan selesai..

Baca juga :

Volume dan Luas

Mencari Panjang Diagonal Ruang Balok Jika Diketahui Panjang, Lebar dan Tinggi Balok

✔ de eka sas Comment

Untuk mencari panjang dari diagonal ruang suatu balok, ada rumus singkatnya. Kita bisa menggunakan rumus ini dan langsung mendapatkan hasil yang diinginkan.

Iya...

Tidak repot kok...

Konsep diagonal ruang balok

Mari perhatikan gambar balok berikut..

AB = Panjang balok (p)
BC = Lebar balok (l)
GC = tinggi balok (t)

Yang dimaksud dengan diagonal ruang adalah gari AG yang berwarna merah. Selain garis AG, diagonal ruang dari balok adalah garis CE, BH dan DF.

Jadi balok memiliki 4 buah diagonal ruang yang panjangnya sama semua.

Terus bagaimana rumus untuk mencari panjang dari diagonal ruang ini?

Mudah sekali...

Ini rumusnya...

Jadi...

Ketika panjang, lebar dan tinggi balok sudah diketahui, kita tinggal memasukkan ke dalam rumus di atas.

Selesai...

Soal

Agar semakin paham, kita coba contoh soalnya ya...

Soal :

1. Sebuah kubus memiliki ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut 5 cm, 4 cm dan 3 cm. Berapakah panjang diagonal ruangnya?

Langsung saja kita masukkan ke rumusnya..
Diketahui :

Panjang (p) = 5 cm
Lebar (l) = 4 cm
Tinggi (t) = 3 cm

Akar 50 dipecah menjadi 25 × 2
Masing-masing mendapatkan akar, yaitu akar 25 dan akar 2
akar 25 adalah 5 sedangkan akar 2 tetap.

Maka diperoleh panjang diagonal ruangnya adalah 5√2 cm

Soal :

2. Balok memiliki panjang 10 cm, lebar 8 cm dan tinggi 6 cm. Berapakah panjang dari diagonal ruangnya?

Diketahui :

p = 10 cm
l = 8 cm
t = 6 cm

Sekarang kita langsung masuk ke rumusnya..

Kita ubah akar 200 menjadi akar 100 dikali 2
Digunakan 100 agar bisa diakarkan

Sekarang kita akarkan 100 dan diperoleh 10, sedangkan akar 2 tetap dibiarkan seperti itu karena memang tidak bisa diakarkan..

Jadi diagonal ruang balok diatas adalah 10√2 cm..

Kesimpulan

Bagaimana, mudah dimengerti kan?

Untuk mencari panjang diagonal ruang sebuah balok caranya sangat mudah. Kita tinggal menggunakan rumus jadinya.

Keterangan :

p = panjang balok
l = lebar balok
t = tinggi balok

Masukkan data ke dalam rumus dan selesai.

Itu saja.

Jadi, tidak ada yang rumit ketika menghitung panjang diagonal ruang sebuah balok.

Rumus untuk menghitung diagonal ruang balok juga sama kok dengan diagonal ruang kubus. Jika pada kubus maka panjang, lebar dan tingginya berukuran sama.

Itu saja.

Ok...

Selamat mencoba dan semoga terbantu ya...

Baca juga ya :

Volume dan Luas

Luas Selimut Tabung yang Tingginya 10 cm adalah 440 cm². Berapakah Volumenya?

✔ de eka sas Comment

Karena yang diketahui luas selimut, maka kita harus mengetahui rumus untuk luas selimut suatu tabung. Sudah hafal belum?

Ok, pada soal berikut akan diberikan rumus selimut tabung dan apa saja yang harus dicari agar bisa ditemukan volume tabungnya.

Contoh soal :

1. Suatu tabung memiliki luas selimut 440 cm² dan tingginya 10 cm. Berapakah volume dari tabung ini? (π = ²²/₇)

Mari lihat gambar tabung dibawah ini..

Dalam soal diatas, jari-jari (r) tabung belum diketahui dan inilah yang harus kita cari menggunakan bantuan dari luas selimut.

Mencari jari-jari (r)

Ok, rumus dari luas selimut tabung adalah..

Luas selimut = 2πr × t

Diketahui :

luas selimut = 440 cm²
tinggi (t) = 10 cm
π = ²²/₇

Masukkan yang diketahui ke dalam rumus luas selimut..

440 = 2 × ²²/₇ × r × 10

440 = ⁴⁴⁰/₇ × r

Untuk mendapatkan "r", maka bagi 440 dengan ⁴⁴⁰/₇

r = 440 : ⁴⁴⁰/₇

r = 440 × ⁷/₄₄₀

Jika dibagi dengan pecahan, maka tanda bagi berubah menjadi kali dan pecahan yang dibelakang ditukar posisi atas dan bawahnya..

r = 7 cm.

Mencari volume (V)

Rumus volume tabung adalah ...

Volume = πr² × t

jari-jari (r) = 7 cm
tinggi = 10 cm
π = ²²/₇

Volume = ²²/₇ × 7² × 10

Volume = 1540 cm³

Nah sudah ditemukan volume dari tabung diatas adalah 1540 cm³

Contoh soal :

2. Luas selimut suatu tabung adalah 251,2 cm² dan tingginya 8 cm. Berapakah volume dari tabung ini? (π = 3,14)

Karena diketahui luas selimut tabung, maka kita akan menggunakan rumus luas selimut untuk mencari jari-jari (r).

Mencari jari-jari (r)

Ok, rumus dari luas selimut tabung adalah..

Luas selimut = 2πr × t

Diketahui :

luas selimut = 251,2 cm²
tinggi (t) = 8 cm
π = 3,14

Masukkan yang diketahui ke dalam rumus luas selimut..

251,2 = 2 × 3,14 × r × 8

251,2 = 50,24 × r

Untuk mendapatkan "r", maka bagi 251,2 dengan 50,24

r = 251,2 : 50,24

Jadikan pecahan keduanya untuk memudahkan perhitungan

r = ²⁵¹²/₁₀ : ⁵⁰²⁴/₁₀₀

ubah bagi menjadi kali dan pecahan yang dibelakang ditukar posisi atas dan bawah. Hanya yang dibelakang saja ya, yang didepan tetap.

r = ²⁵¹²/₁₀ × ¹⁰⁰/₅₀₂₄

bagi 100 dengan 10
2512 dan 5024 sama-sama dibagi 2512

r = ¹/₁ × ¹⁰/₂

r = 5 cm.

Mencari volume (V)

Rumus volume tabung adalah ...

Volume = πr² × t

jari-jari (r) = 5 cm
tinggi = 8 cm
π = 3,14

Volume = 3,14 × 5² × 8

Volume = 628 cm³

Baca juga :