Showing posts with label Gradien. Show all posts
Showing posts with label Gradien. Show all posts

Diketahui garis melalui titik (2,3) dan (1,p) dengan gradien 2. Hitunglah nilai p!

Kita akan membutuhkan rumus gradien ketika diketahui dua buah titik. Nanti dengan pengubahan, nilai p bisa diperoleh.


Rumus

Nah...
Kita lihat dulu rumus apa yang digunakan untuk mencari gradien jika diketahui dua buah titik.



Keterangan :
  • m = gradien
  • x₁ = nilai x dari koordinat pertama
  • x₂ = nilai x dari koordinat kedua
  • y₁ = nilai y dari koordinat pertama
  • y₂ = nilai y dari koordinat kedua

Untuk lebih jelasnya, lihat pada contoh soal di bawah ya!!

Soal

Ok...
Setelah mengetahui rumus apa yang digunakan, sekarang kita bisa menghitung apa yang ditanyakan pada soal.

Soal :

1. Sebuah garis melewati titik (2,3) dan (1,p) dengan gradien 2. Hitunglah nilai p!


Tulis dulu yang diketahui :
  • Gradien (m) = 2
  • titik pertama = (2,3)
  • titik kedua = (1,p)


Menentukan masing-masing x dan y

Lihat titik pertama, yaitu (2,3).
Maka :
  • x₁ = 2
  • y₁ = 3

Lihat titik kedua, yaitu (1,p)
  • x₂ = 1
  • y₂ = p

Ok...
Jelas kan cara menentukan masing-masing nilai x dan y-nya??




Menghitung nilai p

Sekarang kita sudah memiliki data lengkapnya :

  • x₁ = 2
  • y₁ = 3
  • x₂ = 1
  • y₂ = p
  • m = 2

Masukkan ke dalam rumus



  • Untuk memudahkan perhitungan, kalikan silang
  • 2 dikalikan dengan -1
  • Sedangkan p-3 tetap karena tidak ada  kawan untuk perkalian silang



  • Pindahkan -3 ke ruas kiri sehingga tandanya berubah menjadi +3



Nah...
Akhirnya kita mendapatkan nilai p, yaitu 1.
Seperti itulah langkah-langkahnya.



Soal :

2. Sebuah garis lurus yang memiliki gradien 3, melewati titik (-1, 4) dan (b,-2). Berapakah nilai b?


Data yang ada pada soal :
  • Gradien (m) = 3
  • titik pertama = (-1,4)
  • titik kedua = (b,-2)


Menentukan masing-masing x dan y

Titik pertama (-1,4).
Maka :
  • x₁ = -1
  • y₁ = 4

Titik kedua (b,-2)
  • x₂ = b
  • y₂ = -2



Menghitung nilai p

Data pada soal sekarang menjadi :

  • x₁ = -1
  • y₁ = 4
  • x₂ = b
  • y₂ = -2
  • m = 3

Hitung ke dalam rumus.




Kalikan silang antara 3 dengan b+1
Sedangkan (-2-4) diamkan saja.




  • 3×(b+1), semua yang ada di dalam kurung dikali dengan 3
  • 3×b = 3b
  • 3×1 = 3
  • Itulah cara membuka kurungnya ya

Kemudian :
  • Pindahkan +3 ke ruas kanan menjadi -3
Untuk mendapatkan b, bagi -9 dengan 3

Nah...
Kitapun mendapatkan nilai b, yaitu -3.


Baca juga ya :

Mencari gradien garis yang diketahui gambar grafiknya

Menentukan gradien garis dari sebuah grafik ada dua cara dan akan dijelaskan lebih lanjut pada pembahasan soalnya..



Soal :

1. Hitunglah gradien garis pada gambar dibawah ini..





Ada dua cara, yaitu cara rumus dan perhitungan cepat.
Mau yang cepat ya?

Sabar dulu dong..


Cara rumus

Mari perhatikan grafik diatas. Kita tentukan dulu koordinat dua titik yang sudah diketahui.

Pertama yang ada -3.

  • Dititik ini, -3 adalah nilai sumbu x
  • Sedangkan sumbu y nilainya 0 (karena terletak di sumbu x)
  • Jadi titik koordinatnya adalah (-3,0)

Kedua, titik yang ada 4.
  • Dititik ini, 4 adalah nilai sumbu y
  • Sedangkan sumbu x nilainya 0 (karena menempel disumbu y)
  • Titik koordinat disini adalah (0,4)




Sudah ada dua titik, yaitu (-3,0) dan (0,4)

(-3,0) :

  • x₁ = -3
  • y₁ = 0

(0,4) :
  • x₂ = 0
  • y₂ = 4

Rumus untuk mencari gradien adalah :

  • m = gradien

Masukkan nilai diatas ke dalam rumusnya.



Dan gradien garis diatas adalah ⁴∕₃.




Cara lebih cepat

Kita perhatikan lagi gambarnya..


Perhatikan lagi grafik diatas

  • Kita cari jarak pada sumbu x, dari titik 0 ke titik -3.
    Jaraknya adalah 3 (nilai minus jangan dipakai)
  • Kemudian pada sumbu y, dari titik 0 ke titik 4
    Jaraknya adalah 4

Sehingga sudah diperoleh :
  • x = 3
  • y = 4

Kemudian pakai rumus ini, rumusnya hampir sama dengan cara pertama.


Masukkan nilai x dan y



Tips!
Untuk cara ini, harus diperhatikan arah kemiringan garisnya.

  • Jika garisnya mengarah ke kanan atas, maka gradiennya positif
  • Jika garisnya mengarah ke kiri atas, maka gradiennya negatif.

Untuk soal ini, gambar grafiknya mengarah ke kanan atas, sehingga gradiennya positif.


Baca juga :

Garis dengan gradien (m) = 3 melewati titik (a,7) dan (6,13). Berapakah nilai "a"?

Ketika diketahui gradien garis lurus dan titik yang dilewatinya, maka mencari nilai "a" bisa dilakukan dengan mudah.


Mari kita coba contoh soalnya.


Soal :

1. Garis lurus dengan gradien (m) = 3 melewati titik (a,7) dan (6,13). Berapakah nilai dari "a"?


Data yang diketahui pada soal adalah :

  • gradien (m) = 3
  • titik (a,7)
  • titik (6,13)



Memecah titik yang diketahui


Pada soal diketahui dua titik dan sekarang kita akan memecahnya sebagai berikut :

Titik (a,7) :

  • x₁ = a
  • y₁ = 7

Titik (6,13) :
  • x₂ = 6
  • y₂ = 13

Bagaimana jika dibalik titiknya?
Titik (a,7) menjadi yang kedua dan titik (6,13) menjadi yang pertama?
Hasilnya sama saja kok!!
Jangan bingung ya..



Menggunakan rumus gradien


Sekarang kita akan menggunakan rumus gradien yang diketahui dua buah titiknya.



  • Masukkan data-data yang sudah diketahui ke dalam rumusnya..




  • untuk memudahkan perhitungan, kalikan silang antara 3 dan (6-a)
  • sedangkan 6 tetap karena tidak ada kawan untuk dikali silang

3 × (6-a) = 6

  • untuk membuka kurung, kalikan 3 dengan 6 hasilnya 18, kemudian kalikan 3 dengan -a, hasilnya -3a

18 - 3a = 6
  • pindahkan 6 ke ruas kiri menjadi -6
  • pindahkan -3a ke ruas kanan menjadi 3a

18 - 6 = 3a

12 = 3a
  • untuk mendapatkan a, bagi 12 dengan 3

a = 12 : 3

a = 4.


Jadi, nilai dari "a" adalah 4.




Soal :

2. Garis lurus dengan gradien (m) = ½ dan melewati titik (-2,3) dan (2,a). Berapakah nilai dari "a"?


Kita tulis data yang ada pada soal :

  • gradien (m) = ½
  • titik (-2,3)
  • titik (2,a)



Memecah titik yang diketahui


Titik (-2,3) :

  • x₁ = -2
  • y₁ = 3

Titik (2,a) :
  • x₂ = 2
  • y₂ = a



Menggunakan rumus gradien


Rumus yang digunakan adalah :




  • Masukkan data-data yang sudah diketahui ke dalam rumusnya..



  • kalikan silang antara 1 dan 4
  • kalikan silang antara 2 dan (a-3)

1 × 4 = 2 × (a-3)

  • untuk membuka kurung, kalikan 2 dengan a menjadi 2a
  • kemudian kalikan 2 dengan -3 menjadi -6

4 = 2a - 6
  • pindahkan -6 ke ruas kiri menjadi +6

4 + 6 = 2a

10 = 2a
  • untuk mendapatkan a, bagi 10 dengan 2

a = 10 : 2

a = 5.


Sehingga nilai "a" yang dicari adalah 5.




Baca juga ya :

Mencari Gradien Dari Garis 2x - 3y = 4

Langkah-langkah mendapatkan gradien suatu garis lurus akan dijabarkan disini dan perhatikan setiap langkahnya ya..

Sehingga paham dan mengerti dengan sangat baik..


Kita langsung coba soalnya..


Soal :


1. Berapakah gradien dari garis 2x - 3y = 4?


Untuk bisa mendapatkan gradien sebuah garis, perhatikan syarat berikut.



Syaratnya seperti ini :
  • Variabel "y" harus berada sendiri di ruas kiri
  • Dan angka di depan variabel "y" harus satu.


Sekarang kita cari gradiennya..

2x - 3y = 4

  • pindahkan 2x ke ruas kanan menjadi -2x
  • variabel "x" dipindah ke ruas kanan agar variabel "y" sendiri di ruas kiri

-3y = -2x + 4

  • Syarat selanjutnya adalah angka di depan "y" harus 1
  • Sedangkan sekarang ada angka -3 di depan "y"
  • Agar menjadi 1, maka bagi -3y dengan -3
  • untuk suku yang lain, yaitu -2x dan 4 juga harus dibagi -3




Terus, sekarang bagaimana?

  • Setelah "y" sendiri di ruas kiri dan angka di depannya 1, maka gradien adalah angka di depan "x"


Gradien adalah angka di depan "x"


Jadi, angka di depan "x" = ²/₃

Sehingga gradiennya juga  ²/₃




Soal :


2. Berapakah gradien dari garis 3x + 9y -7 = 0?



Syaratnya masih sama dengan soal pertama..




Syaratnya seperti ini :
  • Variabel "y" harus berada sendiri di ruas kiri
  • Dan angka di depan variabel "y" harus satu.


Sekarang kita cari gradiennya..

3x + 9y -7 = 0

  • pindahkan 3x ke ruas kanan menjadi -3x
  • pindahkan -7 ke ruas kanan menjadi +7

9y = -3x + 7

Sekarang variabel "y" sudah sendiri di ruas kiri dan tinggal angka depannya dijadikan 1.


  • Caranya membagi semua suku dengan 9.






Jadi...


Gradien adalah angka di depan "x"


Gradiennya adalah -¹/₃



Baca juga :

Garis "m" Tegak Lurus Dengan Garis 2x - 6y = 3. Berapakah Gradien Garis "m"?

Dalam soal diketahui jika kedua garis tersebut saling tegak lurus dan kita akan menggunakan rumus yang berhubungan dengannya.

Lebih lengkapnya langsung dilihat pada contoh soal..



Soal :


1. Garis "m" tegak lurus dengan garis 2x - 6y = 3. Berapakah gradien garis "m"?


Langkah-langkah mengerjakan soal ini sebagai berikut :

  • Mencari gradien garis 2x - 6y = 3
  • Menggunakan rumus gradien saling tegak lurus, kita cari gradien garis m



Mencari gradien garis 2x - 6y = 3


Untuk mendapatkan gradien garis ini, maka variabel y harus berada sendiri di ruas kiri dan angka di depannya harus 1.

Mari kita kerjakan..



Caranya adalah :

  • pindahkan 2x ke ruas kanan menjadi -2x
  • variabel y sekarang sudah sendiri di ruas kiri
  • agar angka di depan y menjadi 1, maka semuanya harus dibagi dengan -6 (sesuai angka yang ada di depan variabel y saat ini)
  • akhirnya kita mendapatkan variabel "y" yang angka depannya 1
Ketika angka di depan y sudah 1, maka :
  • gradien garisnya adalah angka di depan x.
  • gradien garisnya adalah ⅓

Kita sebut gradien ini sebagai n..
Sehingga "n" = ⅓





Mencari gradien garis "m"


Inilah syarat gradien dua garis yang saling tegak lurus



Karena kedua garis tersebut saling tegak lurus, maka hasil kali kedua gradiennya sama dengan minus satu..



Jadi :

Gradien m × gradien n = -1

Gradien m × ⅓  = -1

  • Untuk mendapatkan gradien m, bagi -1 dengan ⅓

Gradien m = -1 : ⅓
  • tanda bagi berubah menjadi kali dan pecahan dibelakangnya ditukar angkanya

Gradien m = -1 × ³/₁

Gradien m = -3.


Jadi gradien garis m yang tegak lurus dengan garis 2x - 6y = 3 adalah -3.




Soal :


2. Garis "k" tegak lurus dengan garis 9x - 3y - 4 = 0. Berapakah gradien garis "k"?


Caranya sama dengan soal pertama dan kita akan mengikuti langkah-langkah yang sudah ada.



Mencari gradien garis 9x - 3y - 4 = 0


Kita buat variabel "y" berada sendiri di ruas kiri..



Caranya adalah :

  • pindahkan 9x ke ruas kanan menjadi -9x
  • pindahkan -4 ke ruas kanan menjadi +4
  • sekarang variabel y sudah berada sendiri di ruas kiri
  • agar angka di depan y 1, maka bagi semuanya dengan -3 (sesuai dengan angka yang ada pada variabel y saat ini)
Ketika angka di depan y sudah 1, maka :
  • gradien garisnya adalah angka di depan x.
  • gradien garisnya adalah 3

Kita sebut gradien ini sebagai n..
Sehingga "n" = 3





Mencari gradien garis "m"


Mari ingat lagi syarat dua garis yang saling tegak lurus..



Karena kedua garis tersebut saling tegak lurus, maka hasil kali kedua gradiennya sama dengan minus satu..



Jadi :

Gradien k × gradien n = -1

Gradien k × 3  = -1

  • Untuk mendapatkan gradien k, bagi -1 dengan 3

Gradien k = -1 : 3

Gradien = -⅓


Jadi gradien yang kita cari adalah -⅓




Baca juga :

Apa Arti Dari Gradien (m) = 5/4?

Gradien bisa ditemukan dalam soal mencari persamaan garis lurus dan menjadi pokok bahasan materi matematika di SMP atau SMA.

Gradien bisa diartikan kemiringan garis lurus tersebut.


Yap..
Gradien hanya ditemukan pada garis lurus..

Untuk garis melengkung seperti parabola atau lingkaran, tidak bisa dicari gradiennya. Gradien hanya bisa dicari ketika bersinggungan dengan garis lurus saja atau disatu titik.

Rumus umum gradien

Untuk rumus umum gradien perlu diketahui dulu ya.

m = Δy/Δx

Sehingga :
Untuk bagian pembilang atau angka di atas, adalah nilai pada sumbu y
  • Untuk bagian penyebut atau angka di bawah adalah nilai pada sumbu x.


Arti gradien ⁵∕

Trus, apa ya arti dari gradien itu jika dinyatakan dengan angka?

Kita akan mengambil contoh gradien (m) = ⁵∕₄.  Tapi sebelumnya, coba perhatikan dulu gambar berikut ini..



Garis berwarna merah yang kita lihat posisinya.



Dilihat dari titik A



Kita lihat dulu dari titik A. Titik ini akan dijadikan patokan untuk menentukan titik B dengan menggunakan gradien yang sudah diberikan.

Arti dari gradien ⁵∕₄ adalah sebagai berikut :

  • Angka 5 pada ⁵∕₄ artinya titik bergerak sebanyak 5 langkah ke atas atau ke bawah pada sumbu y.
  • Angka 4 pada ⁵∕₄ artinya titik bergerak sebanyak 4 langkah ke kanan atau ke kiri pada sumbu x.

Sehingga kita bisa menentukan titik B dari titik A.

Titik A (-2,-3)
  • Karena titik B berada dikanan A, berarti titik bergerak 4 langkah ke kanan dari A
    Sehingga titik B bisa ditentukan nilai x = -2 + 4 = 2
  • Kemudian titik B berada diatas A, berarti titiknya bergerak 5 langkah ke atas
    Sehingga titik B bisa ditentukan nilai y = -3 + 5 = 2

Hasilnya kita bisa memperoleh titik B (x,y) = (2,2).





Dilihat dari titik B


Sekarang kita balik, akan dicari titik A dari titik B dan masih menggunakan konsep gradien yang sudah dijelaskan diatas.

Titik B = (2,2)

  • Karena titik A berada di kiri titik B, maka titiknya bergerak 4 langkah ke kiri. (Kalau ke kiri di kurang ya!)
    Sehingga titik B untuk nilai x bisa dicari = 2 - 4 = -2
  • Karena titik A berada dibawah titik B, maka titiknya bergerak 5 langkah ke bawah
    Sehingga titik B bisa dicari nilai y = 2 - 5 = -3

Kita bisa mendapatkan titik A yaitu (x,y) = (-2,-3)


Jadi seperti itulah gambaran dari arti gradien..






Tambahan pengertiannya



Gradien itu bisa bernilai positif dan negatif, apa perbedaannya?

Ok, pada contoh diatas, kita hanya menggunakan gradien yang bernilai positif. Dan yang membedakannya dengan gradien negatif hanyalah arahnya.




  • Garis merah memiliki gradien positif
  • Garis hijau memiliki gradien negatif.
Apa yang membedakan keduanya?

Arahnya..
  • Garis merah rebah (tidur) ke kanan, maka gradiennya pasti positif
  • Garis hijau rebah ke kiri, maka gradiennya pasti negatif.

Mudah kan membedakannya?

Jadi...
Arti dari gradien ⁵∕₄ adalah :
  • 5 langkah bergerak ke atas
  • 4 langkah bergerak ke kanan (Karena semua bernilai negatif)

Arti gradien -⁵∕₄

Kita coba gradien yang bernilai negatif.

Seperti yang sudah disebutkan diatas, yang membedakan hanya posisi rebah garisnya. Untuk proses mencari titik selanjutnya, sama kok..

Tidak dipengaruhi nilai negatif pada gradiennya.

Arti gradien -⁵∕₄ :

  • Titik akan bergerak ke kanan dan ke kiri sebanyak 4 langkah
  • Titik akan bergerak ke atas dan kebawah sebanyak 5 langkah



Kita akan mencari titik B dari titik A.

Titik A (2,-2)
  • Karena titik B berada dikiri titik A, maka untuk mendapatkan nilai x, harus bergerak 4 langkah ke kiri
    Sehingga 2 - 4 = -2
  • Karena titik B berada diatas titik A, maka untuk mendapatkan nilai y, harus bergerak 5 langkah ke atas.
    Sehingga -2 + 5 = 3
Jadi kita bisa memperoleh titik B = (x,y) = (-2, 3)


Coba sekarang cari titik A dari titik B menggunakan konsep gradien diatas.
  • Kalau bergerak ke kanan dan ke atas, maka titiknya ditambah
  • Kalau bergerak ke kiri dan ke bawah, maka di kurangi

Semoga membantu ya!!



Baca juga :

Mencari Persamaan Garis yang Melewati Titik (2,3) dan Sejajar Dengan Garis 2y + 3 = 4

Setelah sebelumnya membahas persamaan garis yang tegak lurus, sekarang saya akan membahas bagaimana cara mencari persamaan garis yang sejajar.


Baca juga :



Prosesnya lebih mudah dibandingkan dengan persamaan garis lurus.

Nanti akan dijelaskan lagi secara lebih terperinci mengapa mencari persamaan garis seperti ini lebih enteng.

Contoh soal 

1. Suatu garis K melewati titik (2,3) dan sejajar dengan garis N yang memiliki persamaan 2y + 3x = 4. Bagaimanakah persamaan garis K tersebut?

Langkah untuk mendapatkan jawaban dari soal ini adalah :

  • mencari gradien garis dari 2y + 3x = 4
  • karena sejajar, maka gradien garis K sama dengan gradien garis N
  • Setelah itu masukkan datanya ke rumus persamaan garis.
Nah, seperti itulah langkah-langkah yang bisa kita tempuh.


Mencari gradien garis N dengan persamaan 2y + 3x = 4.

Untuk mendapatkan gradiennya, maka y harus sendiri di ruas kiri dan kita pindahkan 3x ke sebelah kanan sehingga menjadi (-3x)

2y + 3x = 4
2y = 4 - 3x

  • sekarang bagi semuanya dengan 2 agar angka di depan variabel "y" adalah satu

2y = 4 - 3x
 2     2    2

y = 2 - (³∕₂) x

  • gradien (m) adalah bilangan di depan variabel "x", asalkan y sudah sendiri dan angka di depannya sudah satu.
Jadi gradien garis N adalah (mN) = - ³∕₂  (Tanda minus di depannya juga ikut ya).



Mencari gradien garis K


Garis K sejajar dengan dengan garis N, dan diatas sudah dijelaskan kalau dua garis sejajar memiliki gradien yang sama.

mK  = mN = - ³∕₂


Mencari persamaan garis K

Gradien dari garis K sudah diperoleh, yaitu (mK) = - ³∕₂. Dan dalam soal diketahui jika garis K melewati titik (2,3). Sekarang kita tinggal memasukkan data ini ke dalam rumus persamaan garis lurus.

y - y₁ = m (x - x₁)

  • m yang dipakai adalah gradien garis K
  • titik yang digunakan adalah (2,3). 
  • x₁ = 2 dan y₁ = 3.
y - y₁ = mK (x - x₁)


Jadi persamaan garis yang kita cari adalah 2y + 3x = 12.





Contoh soal 

2. Suatu garis A melewati titik (1, -2) dan sejajar dengan garis N yang memiliki persamaan 3y + 3x = 7. Bagaimanakah persamaan garis K tersebut?



Mencari gradien garis 3y + 3x = 7


3y = -3x + 7

  • pindahkan 3x ke ruas kanan agar y sendiri di ruas kiri
  • kemudian bagi semuanya dengan 3 agar angka di depan y bernilai 1


3y   = -3x + 7     
 3         3      3

y = -x + 7/3

Gradien garis N adalah bilangan di depan variabel "x", yaitu -1.


Mencari gradien garis A


Garis A dan garis N sejajar, jadi kedua garis ini memiliki gradien yang sama.

Gradien garis A (mA) = Gradien garis N (mN)

mA = mN = -1


Mencari persamaan garis A

y - y₁ = m (x - x₁)

Rumus yang akan kita gunakan adalah seperti diatas, sekarang tinggal memasukkan datanya saja.
  • m yang dipakai adalah gradien garis A
  • titik yang melewati garis A adalah (1, -2). Ini artinya x₁ = 1 dan y₁ = -2 





































Jadi persamaan garis A adalah x + y = -1.