Home All posts

Rumus deret aritmetika Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertama?

✔ de eka sas 1 Comment
Jumlah suku pertama berarti yang kita akan menggunakan rumus "Sn". Kita bisa dengan cepat mencari jumlahnya.



Soal :

1. Rumus suatu deret aritmetika adalah Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertamanya?


Dalam soal sudah diketahui rumus suku ke-n :

  • Un = 2n + 1


Mencari suku awal (a) dan beda (b)

Untuk mencari suku awal dan beda, kita akan mencari suku pertama, kedua dan ketiga lebih dulu.



Suku awal (U₁)

Un = 2n + 1

U₁ = 2.1 + 1

U₁ = 2 + 1

U₁ = 3

Ingat ya!!
U₁ = a





Suku kedua (U₂)

Un = 2n + 1

U₂ = 2.2 + 1

U₂ = 4 + 1

U₂ = 5




Suku ketiga (U₃)

Un = 2n + 1

U₃ = 2.3 + 1

U₃ = 6 + 1

U₃ = 7.




Sehingga deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 3, 5, 7

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 3

b = 2.

Atau beda juga bisa diperoleh dengan mengurangkan suku ketiga dan kedua, hasilnya sama.




Mencari jumlah 10 suku pertama

Dari perhitungan diatas, kita sudah mendapatkan dua data :

  • suku awal (a) = 3
  • beda (b) = 2

Untuk mencari jumlah 10 suku pertama, kita akan menggunakan rumus berikut :

Sn = ½n [2a + (n-1)b]
  • n = 10, karena yang dicari adalah jumlah 10 suku pertama


Sehingga :

S₁₀ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₀ = ½.10 [2.3 + (10-1)2]

S₁₀ = 5 [6 + (9)2]

S₁₀ = 5 [6 + 18]

S₁₀ = 5 [24]

S₁₀ = 120.


Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 120.




Soal :

2. Hitunglah jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika yang mempunyai rumus Un = 3n - 1!

Rumus deretnya :
  • Un = 3n - 1


Mencari suku awal (a) dan beda (b)

Cari suku pertama, kedua dan ketiga dulu.



Suku awal (U₁)

Un = 3n - 1

U₁ = 3.1 - 1

U₁ = 3 - 1

U₁ = 2




Suku kedua (U₂)

Un = 3n - 1

U₂ = 3.2 - 1

U₂ = 6 - 1

U₂ = 5




Suku ketiga (U₃)

Un = 3n - 1

U₃ = 3.3 - 1

U₃ = 9 - 1

U₃ = 8.




Deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 2, 5, 8

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 2

b = 3.



Mencari jumlah 12 suku pertama

Ada dua data yang sudah diperoleh, yaitu :

  • suku awal (a) = 2
  • beda (b) = 3

Masukkan ke dalam rumus "Sn"


Sn = ½n [2a + (n-1)b]
  • n = 12, karena yang dicari adalah jumlah 12 suku pertama

Sehingga :

S₁₂ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₂ = ½.12 [2.2 + (12-1)3]

S₁₂ = 6 [4 + (11)3]

S₁₂ = 6 [4 + 33]

S₁₂ = 6 [37]

S₁₂ = 222

Sehingga, jumlah 12 suku pertama adalah 222.


Baca juga ya :

Persamaan garis dengan gradien (m) = 1/4 dan melewati titik (1,2) adalah...

✔ de eka sas 1 Comment
Karena sudah diketahui gradien dan satu titik yang dilewatinya, maka kita tinggal menggunakan rumus dibawah untuk mendapatkan persamaan garisnya.


Berikut adalah soalnya.


Soal :

1. Persamaan garis yang memiliki gradien (m) = ¼ dan melewati titik (1,2) adalah...


Yang diketahui pada soal :

  • gradien (m) = ¼
  • titik (1,2)


Menghitung persamaan garisnya

Kita akan menggunakan rumus dibawah untuk mendapatkan persamaan garis yang ditanyakan pada soal.

y - y₁ = m(x - x₁)

Karena melewati titik (1,2), maka kita bisa mendapatkan data :

  • x₁ = 1
  • y₁ = 2

Masukkan datanya ke dalam rumus :

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 2 = ¼ (x - 1)

  • untuk menghilangkan bentuk pecahan, kalikan 4 semua suku yang ada pada rumus, baik pada ruas kanan atau kiri.
  • mengapa dikali 4?
    karena penyebut dari pecahan ¼ adalah 4. Jadi harus dikali sesuai dengan penyebut yang ada.

4×y - 4×2 = 4×¼ (x - 1)

4y - 8 = 1(x - 1)

4y - 8 = (x-1)

4y - 8 = x - 1

  • pindahkan 4y ke ruas kiri menjadi -4y
  • pindahkan -1 ke ruas kanan menjadi +1

-8 + 1 = x - 4y

-7 = x - 4y

atau

x - 4y = -7

atau :

  • pindahkan -7 ke ruas kiri menjadi +7

x - 4y + 7 = 0


Jadi, itulah persamaan garis yang dimaksud :
  • x - 4y = -7
  • atau x - 4y + 7 = 0



Soal :

2. Persamaan garis yang memiliki gradien (m) = ⅓ dan melewati titik (-2,3) adalah...


Data pada soal :
  • gradien (m) = ⅓
  • titik (-2,3)


Menghitung persamaan garisnya

Titik yang dilewati adalah (-2,3)

  • x₁ = -2
  • y₁ = 3

Masukkan datanya ke dalam rumus :

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 3 = ⅓ (x - (-2))

y - 3 = ⅓ (x+2)

  • karena penyebutnya 3, maka kalikan semua suku yang ada pada persamaan diatas dengan 3.

3×y - 3×3 = 3×⅓(x +2)

3y - 9 = (x+2)

3y - 9 = x + 2

  • pindahkan +2 ke ruas kiri menjadi -2
  • pindahkan 3y ke ruas kanan menjadi -3y

-9 - 2 = x - 3y

-11 = x - 3y

atau :
  • pindahkan -11 ke ruas kanan menjadi + 11

0 = x - 3y + 11

Bisa ditulis juga :

x - 3y + 11 = 0

Jadi persamaan garisnya adalah :

  • x - 3y = -11
  • x - 3y + 11 = 0

Baca juga ya :

Jari-jari dua lingkaran adalah 4cm dan 6cm. Berapakah perbandingan luasnya?

✔ de eka sas Comment
Karena kita mencari perbandingan luas dua buah lingkaran, maka kita tinggal bandingkan saja luas keduanya.

Tapi ada cara yang lebih singkat lho..


Kita tidak perlu mencari luas keduanya dulu, setelah itu baru dibandingkan.

Itu tidak usah.
Karena memakan waktu lama..

Nanti akan dijelaskan pada soal, apa langkah yang perlu dilakukan demi mendapatkan perbandingan ini lebih cepat.


Soal :

1. Jari-jari dua lingkaran adalah 4cm dan 6cm. Berapakah perbandingan luasnya?


Kita misalkan :
  • Luas lingkaran dengan jari-jari 4cm adalah L₁
  • Luas lingkaran dengan jari-jari 6cm adalah L₂

Karena perbandingan, kita bagi antara L₁ dan L₂.

  • Masukkan rumus luas lingkaran
  • "π" bisa kita coret/hilangkan, karena sama-sama dibagi atas dan bawah

Kemudian :

  • Karena sama-sama mengandung pangkat 2, kita bisa kelompokkan kedua jari-jarinya menjadi bentuk diatas.


Menghitung perbandingan

Sekarang tinggal masukkan saja data yang sudah diketahui pada soal :

  • r₁ = 4cm
  • r₂ = 6cm

  • 4 dan 6 bisa disederhanakan dengan membagi dua semuanya, sehingga diperoleh 2 per 3
  • Setelah itu, setiap angka dikuadratkan lagi.
  • 2 kuadrat = 4
  • 3 kuadrat = 9

Sehingga diperoleh L₁ : L₂ = 4 : 9





Soal :

2. Berapakah perbandingan luas dua lingkaran jika jari-jarinya 3 cm dan 6cm?


Kita akan langsung menggunakan rumus yang sudah ditemukan pada soal pertama untuk mendapatkan perbandingan dari kedua lingkarannya.


Menghitung perbandingan

Sekarang tinggal masukkan saja data yang sudah diketahui pada soal :

  • r₁ = 3cm
  • r₂ = 6cm

  • Sederhanakan 3 dan 6, sama-sama dibagi 3 sehingga menjadi 1 per 2
  • Kemudian kuadratkan lagi masing-masing angka untuk menghilangkan bentuk kurungnya
  • 1 kuadrat = 1
  • 2 kuadrat = 4

Sehingga diperoleh L₁ : L₂ = 1 : 4


Baca juga ya :

Jika titik (a,3a) melewati garis y = 2x + 2, berapakah titik itu sebenarnya?

✔ de eka sas Comment
Kita hanya menentukan titik mana yang sebagai x dan y, kemudian memasukkan titik tersebut ke dalam rumus persamaan garis.

Selesai..


Nah, perhatikan cara yang disajikan pada pembahasan soal dibawah dan pastinya sangat mudah diikuti..


Soal :

1. Jika titik (a,3a) melewati garis y = 2x + 2, berapakah titik itu sebenarnya?


Yang diketahui pada soal adalah :

  • titik (a,3a) yang melewati garis y = 2x + 2


Menentukan x dan y

Kita gunakan titik yang diketahui, titik (a,3a). Ini artinya :

  • x = a
  • y = 3a

Untuk titik pada sebuah koordinat, "x" selalu berada di depan dan "y" selalu berada dibelakang.


Sekarang kita lanjutkan perhitungannya dengan memasukkan nilai "x" dan "y" ini ke dalam persamaan garis lurus.


Menghitung nilai "a"

Persamaan garisnya : y = 2x + 2

Ganti x dan y dengan titik yang sudah diperoleh diatas :

  • x = a
  • y = 3a

y = 2x + 2

3a = 2.a + 2

3a = 2a + 2
  • pindahkan 2a ke ruas kiri menjadi -2a

3a - 2a = 2

a = 2

Nah, sekarang kita sudah menemukan nilai "a".



Mencari titik sebenarnya

Nilai "a" sudah diketahui dan sekarang kita bisa dengan mudah menemukan titik sebenarnya yang diketahui pada soal.

Titiknya adalah (a,3a)

x = a

x = 2


Kemudian..

y = 3a

y = 3.2

y = 6.


Sehingga titik sebenarnya adalah (x,y) = (2,6).



Soal :

2. Jika titik (a,½a) melewati garis y = -2x + 5, berapakah titik itu sebenarnya?


Data pada soal :
  • titik (a,½a) yang melewati garis y = -2x + 5


Menentukan x dan y

Titik yang diketahui : (a,½a)

  • x = a
  • y = ½a 


Menghitung nilai "a"

Persamaan garisnya : y = -2x + 5

Masukkan nilai x dan y yang sudah diketahui :

  • x = a
  • y = ½a

½a = -2.a+ 5

½a = -2a+ 5
  • pindahkan -2a ke ruas kiri menjadi +2a

½a + 2a = 5
  • 2a dijadikan pecahan biar sama penyebutnya dengan ½
  • 2a menjadi ⁴∕₂a

½a + ⁴∕₂a = 5

⁵∕₂a = 5
  • untuk mendapatkan "a", bagi 5 dengan ⁵∕₂

a = 5 : ⁵∕₂
  • Jika dibagi dengan pecahan, tanda bagi bisa diubah menjadi kali
  • kemudian, angka pada pecahan ditukar bagian pembilang dan penyebutnya.

a = 5 × ²∕₅

a = 2.

Mencari titik sebenarnya

Titiknya adalah (a,½a)

x = a

x = 2


Kemudian..

y = ½a

y = ½.2

y = ½ × 2

y = 1.


Jadi, titik yang dimaksud adalah (x,y) = (2,1).


Baca juga ya :

Skala peta 1 : 350.000 dan jarak pada peta 4 cm, berapa jarak sebenarnya?

✔ de eka sas Comment
Kita akan mencari jarak sebenarnya dari suatu peta dan menggunakan rumus umumnya, jarak sebenarnya bisa dihitung dengan cara dibawah.



Soal :

1. Sebuah peta memiliki skala 1 : 350.000 dan jarak dua buah tempat pada peta adalah 4 cm. Berapakah jarak sebenarnya dari kedua tempat itu dalam km?


Diketahui pada soal :

  • skala = 1 : 350.000
  • jarak pada peta (JP) = 4 cm.


Rumus umum

Inilah rumus untuk menghitung skala.



Penjelasan :

  • JP = JS ×  S
  • JS = JP : S
  • S = JP : JS

Sekarang kita akan menghitung JS.
Perhatikan pada rumus diatas..

Jika ingin mencari JS, maka JP berada di atas dan S ada dibawah, karena ada diatas dan dibawah maka rumusnya JP dibagi dengan JS.

Begitu juga jika ingin mencari yang lain :

  • Untuk mencari JP, berarti JS dan S berada dibawah semua, maka JS dikali dengan S
  • Untuk mencari S, berarti JP diatas dan JS dibawah, karena itu JP dibagi dengan JS. 



Sehingga :

JS = JP : S



Mencari Jarak sebenarnya (JS)

Data pada soal :


  • skala = 1 : 350.000
  • jarak pada peta (JP) = 4 cm.




  • Untuk menghitung soal seperti ini, skala dibuat dalam bentuk pecahan ya.
  • Tujuannya untuk memudahkan perhitungan.
Kemudian :
  • Tanda bagi diubah menjadi perkalian
  • Dan pecahan dibelakang tanda bagi berubah posisi, ditukar atas dan bawahnya

Sekarang kita sudah mendapatkan JS = 1.400.000 cm (satuannya masih cm, sesuai dengan soal)



Jarak sebenarnya (JS) harus diubah menjadi km.

JS = 1.400.000 cm

  • Dari "cm" menjadi "km" dibagi 100.000

JS = 1.400.000 : 100.000

JS = 14 km.


Jadi jarak antara dua tempat itu dikondisi sebenarnya adalah 14 km.





Soal :

2. Jika jarak antara dua tempat pada peta 5 cm dan skalanya 1 : 40.000, berapakah jarak sebenarnya dalam km?


Data pada soal :

  • JP = 5 cm
  • S = 1 : 40.000




Mencari Jarak sebenarnya (JS)

Rumus untuk jarak sebenarnya adalah :

JS = JP : S

Masukkan data berikut :
  • JP = 5 cm
  • S = 1 : 40.000




  • Skala selalu dibuat dalam bentuk pecahan ya.
  • Kemudian tanda bagi diubah menjadi kali dan pecahan dibelakangnya ditukar posisinya.

Sehingga :
  • Diperoleh JS = 200.000 cm
  • Satuan masih dalam "cm" karena sesuai dalam soal diketahui jarak pada peta "cm"




JS = 200.000 cm

  • Untuk menjadi "km" dari "cm", harus dibagi dengan 100000

JS = 200.000 : 100.000

JS = 2 km.


Baca juga ya :

Garis dengan gradien (m) = 3 melewati titik (a,7) dan (6,13). Berapakah nilai "a"?

✔ de eka sas Comment
Ketika diketahui gradien garis lurus dan titik yang dilewatinya, maka mencari nilai "a" bisa dilakukan dengan mudah.


Mari kita coba contoh soalnya.


Soal :

1. Garis lurus dengan gradien (m) = 3 melewati titik (a,7) dan (6,13). Berapakah nilai dari "a"?


Data yang diketahui pada soal adalah :

  • gradien (m) = 3
  • titik (a,7)
  • titik (6,13)


Memecah titik yang diketahui

Pada soal diketahui dua titik dan sekarang kita akan memecahnya sebagai berikut :

Titik (a,7) :

  • x₁ = a
  • y₁ = 7

Titik (6,13) :
  • x₂ = 6
  • y₂ = 13

Bagaimana jika dibalik titiknya?
Titik (a,7) menjadi yang kedua dan titik (6,13) menjadi yang pertama?
Hasilnya sama saja kok!!
Jangan bingung ya..


Menggunakan rumus gradien

Sekarang kita akan menggunakan rumus gradien yang diketahui dua buah titiknya.



  • Masukkan data-data yang sudah diketahui ke dalam rumusnya..




  • untuk memudahkan perhitungan, kalikan silang antara 3 dan (6-a)
  • sedangkan 6 tetap karena tidak ada kawan untuk dikali silang

3 × (6-a) = 6

  • untuk membuka kurung, kalikan 3 dengan 6 hasilnya 18, kemudian kalikan 3 dengan -a, hasilnya -3a

18 - 3a = 6
  • pindahkan 6 ke ruas kiri menjadi -6
  • pindahkan -3a ke ruas kanan menjadi 3a

18 - 6 = 3a

12 = 3a
  • untuk mendapatkan a, bagi 12 dengan 3

a = 12 : 3

a = 4.


Jadi, nilai dari "a" adalah 4.




Soal :

2. Garis lurus dengan gradien (m) = ½ dan melewati titik (-2,3) dan (2,a). Berapakah nilai dari "a"?


Kita tulis data yang ada pada soal :

  • gradien (m) = ½
  • titik (-2,3)
  • titik (2,a)


Memecah titik yang diketahui

Titik (-2,3) :

  • x₁ = -2
  • y₁ = 3

Titik (2,a) :
  • x₂ = 2
  • y₂ = a


Menggunakan rumus gradien

Rumus yang digunakan adalah :




  • Masukkan data-data yang sudah diketahui ke dalam rumusnya..



  • kalikan silang antara 1 dan 4
  • kalikan silang antara 2 dan (a-3)

1 × 4 = 2 × (a-3)

  • untuk membuka kurung, kalikan 2 dengan a menjadi 2a
  • kemudian kalikan 2 dengan -3 menjadi -6

4 = 2a - 6
  • pindahkan -6 ke ruas kiri menjadi +6

4 + 6 = 2a

10 = 2a
  • untuk mendapatkan a, bagi 10 dengan 2

a = 10 : 2

a = 5.


Sehingga nilai "a" yang dicari adalah 5.




Baca juga ya :

Mencari Luas Lingkaran Jika Diketahui Kelilingnya (Dengan π = 3,14)

✔ de eka sas Comment
Sebelumnya sudah dibahas bagaimana mencari keliling lingkaran dari luas yang sudah diketahui tapi dengan jari-jarinya yang kelipatan dari 7.

Atau phi yang digunakan (π) = ²²∕₇


Silahkan baca di : #2 Soal Mencari Luas Lingkaran Jika Diketahui Kelilingnya




Soal :

1. Sebuah lingkaran memiliki luas 78,5 cm². Berapakah keliling lingkaran tersebut?
π = 3,14


Ok..
Data yang diketahui pada soal adalah :

  • Luas = 78,5 cm²
  • π = 3,14


Mencari jari-jari (r) dengan menggunakan luas yang diketahui

Karena luas yang diketahui, maka kita akan menggunakan rumus luas untuk menemukan jari-jarinya lebih dulu.

Luas = π×r²

  • luas = 78,5
  • π = 3,14

78,5 = 3,14×r²
  • Untuk mendapatkan r², bagi 78,5 dengan 3,14
  • ubah kedua bentuk desimal menjadi pecahan 

r² = 78,5 : 3,14

r² = ⁷⁸⁵∕₁₀ : ³¹⁴∕₁₀₀

  • ketika dibagi oleh pecahan, maka pecahan pembagi ini (pecahan yang ada dibelakang tanda bagi) dibalik posisinya 
  • kemudian tanda bagi diubah menjadi perkalian

r² = ⁷⁸⁵∕₁₀× ¹⁰⁰∕₃₁₄

r² = ⁷⁸⁵⁰⁰∕₃₁₄₀

r² = 25
  • untuk mendapatkan r, akarkan 25

r = √25

r = 5


Kita sudah memperoleh jari-jari dari lingkaran tersebut adalah 5 cm.



Mencari keliling

Jari-jari (r) sudah diketahui dan sekarang kita bisa dengan mudah mendapatkan berapa besar keliling lingkaran tersebut.

Keliling (K) = 2×π×r

  • π = 3,14
  • r = 5
Keliling (K) = 2×3,14×5

K = 31,4 cm.


Jadi keliling lingkaran tersebut adalah 31,4 cm.





Soal :

2. Luas sebuah lingkaran adalah 200,96 cm². Hitunglah kelilingnya?
π = 3,14


Diketahui pada soal :

  • Luas = 200,96 cm²
  • π = 3,14


Mencari jari-jari (r) dengan menggunakan luas yang diketahui

Kita cari jari-jarinya menggunakan rumus luas lingkaran.

Luas = π×r²

  • luas = 200,96
  • π = 3,14

200,96 = 3,14×r²
  • Untuk mendapatkan r², bagi 200,96 dengan 3,14

r² = 200,96 : 3,14

  • jadikan bentuk pecahan kedua bilangan desimal diatas


r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₁₀₀ : ³¹⁴∕₁₀₀

  • ketika dibagi pecahan, maka pecahan dibelakang tanda bagi dibalik posisinya dan tanda bagi berubah menjadi perkalian

r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₁₀₀ × ¹⁰⁰∕₃₁₄
  • 100 yang ada pada 20096 bisa dicoret dengan 100 yang ada pada 314 (karena posisinya diatas dan dibawah, ini sama artinya dengan pembagian)

r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₃₁₄

r² = 64
  • untuk mendapatkan r, akarkan 64

r = √64

r = 8


Jari-jari (r) lingkaran diatas adalah 8 cm


Mencari keliling

Keliling (K) = 2×π×r

  • π = 3,14
  • r = 8

Keliling (K) = 2×3,14×8

K = 50,24 cm.


Jadi keliling lingkaran tersebut adalah 50,24 cm.




Baca juga ya :
Subscribe to: Comments (Atom)