Mencari faktor dari x2+12x

Mencari faktor dengan bentuk seperti ini, kita hanya perlu mengeluarkan suku yang bisa membagi keduanya.

Mari perhatikan contohnya agar semakin mudah dimengerti.

Soal :

1. Carilah faktor dari x² + 12x !!

Sekarang, kita tinggal mencari suku yang bisa membagi x² dan juga 12x. Setelah diperoleh, pembaginya diletakkan diluar kurung.

• Di depan x² tidak ada angka dan 12x ada angka yaitu 12, berarti angka tidak bisa digunakan untuk membagi karena salah satu tidak memiliki angka, yaitu x²

Kemudian kita lihat hurufnya (variabel) :

• Keduanya ternyata sama-sama memiliki huruf (variabel), yaitu x.
• Jika dibagi dengan x², 12x tidak habis dibagi x², jadi kita gunakan x saja.
• x² habis dibagi x
• 12x juga habis dibagi x

Sehingga, "x" adalah pembagi yang dicari.

= x² + 12x

• karena keduanya bisa dibagi "x", maka "x"-lah yang diluar kurung

= x(x + 12)

• Untuk mendapatkan yang di dalam kurung, bagi x² dengan x = x
• bagi 12x dengan x = 12.

Jadi faktor dari x² + 12x = x(x+12)

Soal :

2. Tentukanlah faktor dari 2x² + 12x !!

Langkahnya sama dengan soal pertama..

• 2x² dan 12x sama-sama memiliki angka, yaitu 2 dan  12.
• 2 dan 12 sama-sama bisa dibagi 2.
• jadi kita sudah mendapatkan satu pembaginya, yaitu 2

Lihat hurufnya (variabel) :

• 2x² dan 12x sama-sama memiliki huruf x
• yang bisa membagi x² dan x adalah x
• kita dapatkan lagi pembagi hurufnya, yaitu x

Sehingga suku pembagi yang lengkap adalah 2x

= 2x² + 12x

• keduanya dibagi 2x dan 2x bisa dikeluarkan atau diletakkan di luar kurung

= 2x (x + 6)

• bagi 2x² dengan 2x = x
• bagi 12x dengan 2x = 6
• x dan 6 diletakkan di dalam kurung

Sehingga faktor dari 2x² + 12x = 2x(x+6)

Soal :

3. Hitunglah faktor dari 3x² -9x !!

Kita cari pembaginya dulu..

• 3x² dan 9x sama-sama memiliki angka, yaitu 3 dan 9
• 3 dan 9 sama-sama bisa dibagi 3.
• Jadi kita sudah dapatkan satu pembaginya yaitu 3.

Terus :

• 3x² dan 9x sama-sama memiliki x
• x² dan x hanya bisa dibagi oleh x

Sehingga pembagi lengkapnya adalah 3x

= 3x² - 9x

• 3x² dibagi 3x = x
• 9x dibagi 3x = 3
• tandanya sesuai dalam soal, yaitu kurang (-)

= 3x(x-3)

Soal :

4. Carilah faktor dari 6x² -2x !!

6x² dan 2x sama-sama bisa dibagi 2x (silahkan hitung sendiri ya!!)

Jadi faktornya :


= 6x² - 2x

• 6x² dibagi 2x = 3x
• 2x dibagi 2x = 1
• tandanya sama, yaitu kurang (-)

= 2x (3x - 1)

Baca juga :

1. Mencari Faktor 2x2 + 9x - 5 = 0
2. Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0
3. Mencari KPK dan FPB dari 4a2b3 dan 6a3b2

Mencari Sumbu Simetri Dan Titik Puncak Grafik Persamaan Kuadrat : x2 4x + 5

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang mempunyai grafik melengkung seperti parabola dan juga memiliki sebuah sumbu simetri dan satu titik puncak.

Itulah yang akan kita cari.

Soal :

1. Carilah sumbu simetri dan titik puncak dari persamaan kuadrat : y = x² + 4x + 5

Mari perhatikan persamaan kuadratnya lagi..

y = x² + 4x + 5

dan rumus umum persamaan kuadrat adalah :

y = ax² + bx + c


Sekarang kita akan menentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat yang diketahui.

y = x² + 4x + 5

• "a" adalah angka di depan x², sehingga a = 1
• "b" adalah angka di depan x, sehingga b = 4
• "c" adalah angka yang tidak mengandung variabel, sehinggga c = 5

---

Mencari sumbu simetri

---

Untuk rumus sumbu simetri, sebagai berikut :

x = ^-b/_2a

Sekarang masukkan nilai a dan b ke dalam rumusnya..


x = ^-b/_2a

• b = 4
• a = 1

x = ^-4/_2.1

x = ^-4/₂

x = -2


Jadi sumbu simetri dari persamaan parabola diatas adalah x = -2.

---

Mencari titik puncak

---

Untuk mendapatkan titik puncak, kita tinggal masukkan nilai pada sumbu simetri ke persamaan kuadratnya.

y = x² + 4x + 5

• Masukkan x = -2 (hasil "x" pada sumbu simetri)

y = (-2)² + 4.(-2) + 5

y = 4 - 8 + 5

y = 1

Sehingga titik puncaknya adalah (x,y) = (-2,1)

Sumbu simetri juga berfungsi sebagai nilai "x" untuk titik puncaknya. Dan untuk mencari "y", tinggal masukkan sumbu simetri ke rumus persamaan kuadratnya.

Soal :

2. Tentukanlah sumbu simetri dan titik puncak dari persamaan kuadrat : y = x² - 6x + 9

Kita akan tentukan dulu nilai a, b dan c

y = x² - 6x + 9

• "a" adalah angka di depan x², sehingga a = 1
• "b" adalah angka di depan x, sehingga b = -6
• "c" adalah angka yang tidak mengandung variabel, sehinggga c = 9

---

Mencari sumbu simetri

---

Rumus sumbu simetri adalah :

x = ^-b/_2a

Kemudian,  masukkan nilai a dan b ke dalam rumusnya..


x = ^-b/_2a

• b = -6
• a = 1

x = ^-(-6)/_2.1

x = ⁶/₂

x = 3


Sehingga diperoleh sumbu simetri-nya, x = 3

---

Mencari titik puncak

---

Setelah menemukan sumbu simetri, sekarang masukkan nilai "x" sumbu simetrinya ke dalam rumus persamaan kuadrat.

y = x² - 6x + 9

• Masukkan x = 3 (hasil "x" pada sumbu simetri)

y = (3)² - 6.(3) + 9

y = 9 - 18 + 9

y = 0

Sehingga titik puncaknya adalah (x,y) = (3,0)

Baca juga ya :

1. Mencari Faktor 2x2 + 9x - 5 = 0
2. Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0
3. Mencari Penyelesaian x2 + x - 12 = 0 Menggunakan Rumus ABC

Mencari Faktor 2x2 + 9x - 5 = 0

Untuk memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat seperti ini, bisa menggunakan metode coba-coba perkalian.

Maksudnya bagaimana?

Nanti akan dijelaskan lebih lanjut dalam soal..

Soal :

1. Faktorkanlah persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0

Bentuk persamaan kuadrat diatas, bisa dipecah sebagai berikut :

• 2x² = 2x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
• -5 = (-5 × 1) atau (5 × -1)  

Yang digunakan hanya bagian depan dan belakang persamaan kuadrat, yang 9x tidak usah dipecah.

Metode coba-coba ini adalah mencoba mengalikan angka antara pasangan yang dikiri dengan yang dikanan, sehingga jika dijumlah menghasilkan 9x.

Perhatikan penjelasan dibawah..

---

Percobaan pertama

---

Yang dipecah adalah bagian depan yang dan belakang, yaitu 2x² dan (-5), sedangkan bagian yang tengah dibiarkan, tidak dipakai dulu.


Ingat!!

• 2x² = 2x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
• -5 = 1 × -5

Langkahnya :

• kalikan 2x dengan 1 (sesuai panah) hasilnya = 2x
• kalikan x dengan -5, hasilnya -5x

Sekarang kita jumlahkan keduanya, apakah hasilnya mau menjadi 9x (angka yang ditengah pada persamaan kuadrat yang ditanyakan)

2x - 5x = -3x 

Ternyata tidak mau menghasilkan 9x, yang diperoleh malah -3x. Jadi percobaan yang pertama ini tidak dipakai karena hasilnya tidak cocok.

---

Percobaan kedua

---

Sekarang pemecahannya sebagai berikut :

• 2x² = 2x × x 
• -5 = -1 × 5

Perkaliannya yang dicoba adalah :

• 2x dikalikan dengan 5, hasilnya = 10x
• x dikalikan dengan -1, hasilnya = -x

Kita jumlahkan keduanya

10x + (-x) = 10x - x = 9x

Ternyata hasilnya mau menjadi 9x (warna merah) sesuai suku tengah dari persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0

---

Menempatkan pasangannya

---

Pasangan dari faktor yang ingin dicari sudah diperoleh :

• 2x cocok dengan +5
• x cocok dengan -1

Sekarang untuk penempatannya harus hati-hati, mari buat dua buah kurung dengan masing-masing sudah ada 2x dan x

(2x + ....)(x + ....) = 0

Cara menaruh pasangannya adalah :

• 2x cocok dengan +5, sehingga +5 diletakkan disamping x
• x cocok dengan -1, sehingga -1 diletakkan disamping 2x

Jadi penempatannya ditukar ya!!

Tidak dengan pasangannya ketika dikalikan..

Sehingga :

(2x + (-1))(x + 5) = 0

(2x - 1)(x + 5) = 0

Jadi faktor dari persamaan kuadrat 2x² + 9x - 5 = 0 adalah (2x - 1)(x + 5) = 0

Soal :

2. Faktorkanlah persamaan kuadrat 3x² - 7x - 6 = 0

Pecah dulu suku pertama dan terakhir :

• 3x² = 3x × x (hasil perkalian dari 3x dan x)
• -6 = (-6 × 1) atau (6 × -1)  atau (2 × -3) atau (3 × -2)

---

Hasil yang cocok

---

Disini saya langsung saja menggunakan hasil yang paling cocok dan bisa dicoba sendiri ya dengan hasil perkaliannya..

Pemecahan suku pertama dan terakhir adalah :

• 3x² = 3x × x (hasil perkalian dari 2x dan x)
• -6 = -3 × 2

Langkahnya :

• kalikan 3x dengan -3 (sesuai panah) hasilnya = -9x
• kalikan x dengan 2, hasilnya = 2x

Jumlahkan kedua hasil tersebut apakah mau menjadi -7x, suku tengah dari 3x² - 7x - 6 = 0

-9x + 2x = -7x

Ternyata mau!!

---

Menempatkan pasangannya

---

Pasangan dari faktor yang ingin dicari sudah diperoleh :

• 3x cocok dengan -3
• x cocok dengan 2

Ingat, penempatannya mesti ditukar ya..

(3x + ....)(x + ....) = 0

Cara menaruh pasangannya adalah :

• 3x berpasangan dengan -3, sehingga -3 diletakkan disamping x
• x berpasangan dengan 2, sehingga 2 diletakkan disamping 3x

Sehingga :

(3x + 2)(x + (-3)) = 0

(3x + 2)(x - 3) = 0

Jadi faktor dari persamaan kuadrat 3x² - 7x - 6 = 0 adalah (3x + 2)(x - 3) = 0

Baca juga ya :

1. Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0
2. #1 Cara Mengalikan Faktor Persamaan Kuadrat Yang Berlainan Tanda
3. Mencari Penyelesaian x2 + x - 12 = 0 Menggunakan Rumus ABC

Mencari Penyelesaian x2 + x - 12 = 0 Menggunakan Rumus ABC

Salah satu cara untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu fungsi kuadrat adalah menggunakan rumus ABC.

Kita akan segera mencobanya..

Soal :

1. Carilah penyelesaian x² + x - 12 = 0 dengan menggunakan rumus ABC!!

Mari kita lihat ciri dari persamaan kuadrat..
Persamaan kuadrat bisa dibentuk seperti ini.

ax² + bx + c  = 0

• a = angka di depan x²
• b = angka di depan x
• c = adalah angka yang tidak mengandung variabel.

Sekarang kita lihat soalnya ..

x² + x - 12 = 0

• a = 1 (karena tidak ada angka di depan x², maka angkanya sama dengan 1)
• b = 1 (karena tidak ada angka di depan x, maka angkanya sama dengan 1)
• c = -12 (tanda miuus juga ikut ditulis ya)

Rumus ABC adalah sebagai berikut.

Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus..

---

Mencari x₁

---

Untuk mendapatkan x₁, kita akan menggunakan tanda (+) dulu.. Yang bagian plus minus-nya kita gunakan (+).

---

Mencari x₂

---

Selanjutnya kita gunakan tanda (-)

Nah, kedua nilai x sudah diperoleh, yaitu :

• x₁ = 3
• x₂ = -4.

Itulah penyelesaian dari persamaan kuadratnya (3 atau -4)

Soal :

2. Carilah penyelesaian 2x² + 7x - 4 = 0 dengan menggunakan rumus ABC!!

Kita tentutkan dulu nilai a, b dan c.

ax² + bx + c  = 0

• a = angka di depan x²
• b = angka di depan x
• c = adalah angka yang tidak mengandung variabel.

Sekarang kita lihat soalnya ..

2x² + 7x - 4 = 0

• a = 2
• b = 7
• c = -4 (tanda minus juga ikut ditulis)

Rumus ABC  :

Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus..

---

Mencari x₁

---

Untuk mendapatkan x₁, lakukan yang penjumlahan lebih dulu..

---

Mencari x₂

---

Sekarang dikurangkan..

Nah, kedua nilai x sudah diperoleh, yaitu :

• x₁ = ½
• x₂ = -4.

Itulah penyelesaian dari persamaan kuadratnya (½ atau -4)

Baca juga ya :

1. Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0
2. Mencari Fungsi Kuadrat, Diketahui Titik Potong Sumbu X (3,0) dan (-1,0), Serta Melalui Titik (0, -3)
3. #1 Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0

Persamaan kuadrat yang diberikan bisa difaktorkan dan sekarang disini akan dijelaskan bagaimana cara mencarinya.

Mari lanjutkan..

Soal :

1. Apakah faktor dari persamaan kuadrat : x² + 2x - 8 = 0 ?

Kita misalkan dulu faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x + a)(x+b) = 0

Untuk mencari nilai dari a dan b, perhatikan penjelasan berikut!!

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² + 2x - 8 = 0

• Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
  Sehingga a + b = 2
• Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
  Sehingga a × b = -8

Jelas ya sampai disana??

Sekarang kita sudah mendapatkan dua persamaan..

a + b = 2....①

a × b = -8....②

Kira-kira angka berapa yang cocok memenuhi kedua persamaan tersebut??

Tips!!
Untuk mendapatkan batasan yang jelas, kita gunakan hasil perkaliannya. Yaitu angka berapa saja yang jika dikali menghasilkan -8.

-8 = a × b :

-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8


Dari beberapa hasil perkalian yang menghasilkan -8, pasangan mana (yang berwarna) jika dijumlahkan akan menghasilkan 2??

Pasangan warna biru kan??

Jadi :

• a = 4
• b = -2

Coba jumlahkan a dan b, apakah mau menjadi 2??

a + b = 2

4 +(-2) = 2

4 - 2 = 2

2 = 2 (benar)

Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

4 × (-2) = -8

-8 = -8 (benar)

Akhirnya, nilai a dan b sudah ditemukan :

• a = 4
• b = -2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + 4)(x + (-2)) = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

Soal :

2. Carilah faktor dari persamaan kuadrat : x² - 2x - 8 = 0 ?

Untuk soal yang nomor dua, kita balik sedikit persamaan kuadratnya, yang pada soal pertama +2x, sekarang menjadi -2x.

Caranya masih sama..


Misalkan faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :
(x + a)(x+b) = 0

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² - 2x - 8 = 0

• Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
  Sehingga a + b = -2
• Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
  Sehingga a × b = -8

Kemudian kita mendapatkan :

• a + b = -2....①
• a × b = -8....②

Tips!!
Gunakan hasil perkalian dari -8 untuk mendapatkan a dan b

-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8

Nah, dari hasil perkalian diatas, pasangan mana yang paling pas untuk mengisi nilai a dan b, sehingga kalau dijumlahkan hasilnya -2 dan kalau dikalikan hasilnya -8??


Yang pas adalah pasangan nomor dua, warna hitam, yaitu :

• a = -4
• b = 2

Kita jumlahkan a dan b, apakah hasilnya sama dengan -2?

a + b = -2

-4 + 2 = -2

- 2 = - 2 (benar)

Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

-4 × 2 = -8

-8 = -8 (benar)

Jadi sudah jelas kalau nilai dari a dan b adalah :

• a = -4
• b = 2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + (-4))(x + 2) = 0

(x - 4)(x + 2) = 0

Baca juga :

1. Mencari Fungsi Kuadrat, Diketahui Titik Potong Sumbu X (3,0) dan (-1,0), Serta Melalui Titik (0, -3)
2. Mencari Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Titik Potong Sumbu X (-2,0) dan (1,0), Serta Melalui Titik (2,8)
3. #1 Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2

Langkah-langkah untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan hampir mirip dengan persamaan.

Tapi hasilnya tidak hanya satu..

Jika pada persamaan hasil yang diperoleh hanya satu, maka pada pertidaksamaan bisa lebih dari itu bahkan tidak terhingga..

Ok, kita coba saja dulu soalnya agar lebih mengerti..

---

---

Soal :

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2 adalah....

---

---

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari nilai "x" dulu, setelah itu barulah ditentukan berapa saja himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan pertidaksamaan

Tulis lagi pertidaksamaan diatas..

6x - 2 > 4x + 2

• Kumpulkan suku-suku yang sejenis
• suku yang mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu
• suku yang tidak mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu

Selanjutnya :

• pindahkan 4x ke ruas kiri menjadi -4x
• pindahkan -2 ke ruas kanan menjadi +2

6x - 4x > 2 + 2

2x > 4

• Untuk mendapatkan nilai x, bagi 4 dengan 2

x > 4 : 2

x > 2

Menyelesaikan pertidaksamaan

Pada langkah diatas kita sudah mendapatkan nilai x > 2 ( dibaca x lebih dari dua). Berarti disini kita harus mencari nilai yang selalu lebih dari 2.

Terus mulai dari berapa?

Perhatikan lagi, x > 2

• Pada tanda diatas, tidak ada garis dibawah tanda lebih dari (>), sehingga 2 tidak boleh dihitung. Kita mulai pada angka 3
• Jika misalnya tandanya seperti ini, x ≥ 2, maka nilai x dimulai dari 2. Tanda garis dibawah (>) artinya sama dengan.

Nah, karena tidak ada tanda garis atau sama dengan, maka kita mulai menghitung nilai x dari 3.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 3, 4, 5, 6, 7, ..........

Tanda (........) titik-titik banyak itu maksudnya nilainya terus naik setelah 7 sampai ke angka yang tidak terhingga.

HP = {x| x = 3,4,5,6,7,.......}

Nilainya tidak terhingga atau banyak sekali..

Bagaimana, mudah kan?

Baca juga :

• #1 Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
• Cara Menggambar Garis y = 2x + 8 Pada Bidang Kartesius (Sumbu X dan Y)

---

---

Soal :

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 2 ≤ x + 4 adalah....

---

---

Cara pengerjaannya masih sama dengan soal pertama. Kita harus menuntaskan dulu pertidaksamaan diatas sebelum menentukan nilai x-nya.

Menyelesaikan pertidaksamaan

3x - 2 ≤ x + 4

• Kumpulkan suku yang sejenis

Sehingga :

• pindahkan x ke ruas kiri sehingga menjadi -x
• pindahkan -2 ke ruas kanan sehingga menjadi +2

3x - x ≤ 4 + 2

2x ≤ 6

• untuk mendapatkan x, bagi 6 dengan 2

x ≤ 3

Menentukan himpunan penyelesaian (HP)

Diatas sudah diperoleh nilai x, yaitu x ≤ 3.
Artinya apa?

Nilai x yang kita cari harus selalu kurang dari 3 dan  angka pertama yang ditulis adalah 3. Mengingat tandanya adalah garis atau sama dengan dibawah tanda (<).

Baca lagi penjelasan diatas ya!!

Ketika ada tanda garis atau sama dengan dibawah tanda suatu pertidaksamaan, maka angka tersebut harus dipakai.

Jadi himpunan penyelesaian dari x ≤ 3 adalah ......-1,0,1,2,3

Tanda titik-titik (........) menunjukkan kalau angkanya terus berkurang mengikuti pola yang ada. Ini untuk mempersingkat penulisan.

Batas atasnya adalah angka 3 dan nilainya bergerak turun, mengingat harus selalu kurang dari tiga. Jelas ya?

HP = {x|x = ......-1,0,1,2,3}

Baca juga :

1. Diketahui f(x) = 3x + 1, Jika f(4) = a, Berapa Nilai a?
2. #1 Mencari Nilai "x" Dalam Persamaan 2x + 3 = 4x - 1
3. Diketahui persamaan "2x + 4 = 5x - 2". Berapakah Nilai dari x + 3 ?