Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, .... adalah..

Jika diketahui deret dari suatu bilangan, kita bisa menghitung rumus suku ke-n berdasarkan rumus umum yang sudah dipelajari.

Tapi harus ditentukan dulu deretnya apakah aritmetika atau geometri.

Soal :

1. Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, ... adalah...

Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 5
U3 = 8
U4 = 11

Kita coba cari bedanya dulu, kalau bedanya sama berarti aritmetika.

beda (b) = U2 - U1
b = 5 - 2
b = 3

Sekarang cek beda dari suku ketiga dan kedua

b = U3 - U2
b = 8 - 5
b = 3

Ternyata bedanya sama, maka deret diatas adalah deret aritmetika.

---

Menentukan suku awal dan beda

---

Deretnya adalah 2, 5, 8, 11, ...

Suku awal (a) dari deret itu adalah 2
Jadi a = 2.

Sedangkan bedanya (b) sudah dihitung diatas, yaitu b = 3

---

Menentukan rumus Un

---

Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a + (n-1)b

Sekarang masukkan a dan b ke dalam rumus.

• a = 2
• b = 3

Un = a + (n-1)b

Un = 2 + (n-1)3

• Untuk membuka kurung (n-1)3, caranya adalah dengan mengalikan 3 dengan n = 3n
• kemudian kalikan 3 dengan -1 = -3
• Semua yang didalam kurung harus dikalikan dengan yang diluar kurung

Un = 2 + 3n - 3

Un = 3n + 2 - 3

Un = 3n - 1

Jadi, rumus suku ke-n dari deret diatas adalah Un = 3n - 1.

Soal :

2. Diketahui deret 2, 4, 8, 16,...
Rumus suku ke-n adalah...

Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 4
U3 = 8
U4 = 16

Deret diatas, jika dicari bedanya, tidak sama antara U2 - U1 dengan U3 - U2. Jadi, kita coba pakai deret geometri, yaitu dicari rasionya.

Rasio (r) dicari dengan membagi dua suku berdekatan.

r = U2 : U1
r = 4 : 2
r = 2

atau

r = U3 : U2
r = 8 : 4
r = 2

Nah, rasio (r) sama.
Berarti ini adalah deret geometri.

---

Menentukan suku awal dan beda

---

Kita lihat deretnya lagi..
2, 4, 8, 16, ...

Suku awal (a) = 2
Rasio (r) = 2

---

Menentukan rumus Un

---

Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a.r^n-1

Masukkan a dan r ke dalam rumus

Un = a.r^n-1
Un = 2.2^n-1

Sampai disana, rumusnya sudah benar. Tapi jika ingin dibuat lebih sederhana lagi, bisa.

Un = 2.2^n-1
Un = 2×2^n-1
Un = 2¹×2^n-1

• Jika bilangan pokok, dalam rumus diatas 2, sudah sama, jika dikali maka pangkatnya ditambah

Un = 2^1+n-1

Un = 2ⁿ

Itulah rumus suku ke-n.

Baca juga :

1. Cara Cepat Mencari Deret 3 Buah Bilangan Ganjil Jika Diketahui Jumlah Ketiganya 45
2. Deret Aritmetika, x, (3x-3), (2x+3), 12, 15, Berapa Nilai Dari (2x + 5)?
3. Berapakah Jumlah Deret 1 + 3 + 5 +.....+ 77 ??

Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 20 sampai 50 adalah..

Karena ditanyakan kelipatan, maka kita harus mencari KPK-nya lebih dulu, sehingga mempermudah perhitungan.

Soal :

1. Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 20 sampai 50 adalah..

Jika bertemu dengan soal seperti ini, maka kita harus menemukan berapa kelipatannya dulu. Kelipatan yang dicari adalah kelipatan 3 dan 4.

• Kelipatan 3 dan 4 adalah 12

Karena kelipatannya 12, maka kita akan mencari deret dengan beda (b) = 12.

---

Karena disyaratkan dari 20 sampai 50, kita cari dulu bilangan pertama setelah 20 yang habis dibagi 12 dan bilangan sebelum 50 yang habis dibagi 12.

• Bilangan pertama setelah 20 yang habis dibagi 12 adalah 24
• Bilangan terakhir sebelum 50 yang habis dibagi 12 adalah 48.

Deretnya bisa dibuat seperti ini :

24, ..., 48

---

Yang kosong diatas, bisa kita isi dengan menambahkan 12 setelah suku pertama, yaitu setelah 24.
Sehingga :

24, 36, 48.

Hanya ada tiga bilangan yang habis dibagi 12 atau kelipatan 12 antara 20 sampai 50.

---

Mencari jumlahnya

---

Untuk mendapatkan jumlahnya, tinggal tambahkan saja ketiganya.

Jumlah = 24 + 36 + 48
= 108.


Jadi, jumlah kelipatan 3 dan 4 antara  20 sampai 50 adalah 108.

Soal :

2. Jumlah dari kelipatan 2 dan 6 antara 100 sampai 200 adalah..

Kita cari KPK-dulu..

• KPK dari 2 dan 6 adalah 6

Sehingga deret yang kita cari memiliki beda (b) = 6.

---

Diminta dari 100 sampai 200. Kita harus menentukan bilangan pertama setelah 100 yang habis dibagi 6 dan bilangan terakhir sebelum 200 yang habis dibagi 6 juga.

• Bilangan pertama setelah 100 yang habis dibagi 6 adalah 102
• Bilangan terakhir sebelum 200 yang habis dibagi 6 adalah 198

Diperoleh deretnya :

102, 108, 114,....., 198

Ingat ya!

Beda dari deret diatas adalah 6. 

---

Mencari jumlahnya

---

Karena bilangannya banyak, tidak seperti nomor 1, maka kita akan mencari berapa banyak deret tersebut (n).

Data dari deretnya :

• Suku awal (a) = 102
• Beda (b) = 6
• Suku terakhir (Un) = 198

Menggunakan rumus Un, kita bisa mengitung berapa "n".

Un = a + (n-1)b

• Ini adalah rumus untuk mencari suku ke-n dari deret aritmetika (karena deret ini memiliki beda)

198 = 102 + (n-1)6

• Untuk membuka kurung, kalikan n dengan 6 dan kalikan -1 dengan 6 juga

198 = 102 + 6n - 6

198 = 102 - 6 + 6n

198 = 96 + 6n

• pindahkan 96 ke ruas kiri menjadi -96

198 - 96 = 6n

102 = 6n

• bagi 102 dengan 6 untuk mendapatkan n

n = 102 : 6

n = 17.

Maksudnya, dari 100 sampai 200, adalah 17 bilangan yang habis dibagi oleh 6.

---

Sekarang datanya sudah lengkap dan kita bisa menghitung jumlah deretnya.

• Suku awal (a) = 102
• Beda (b) = 6
• Banyak deret (n) = 17.

Untuk menghitung jumlahnya, gunakan rumus Sn.

Sn = ½n [2a + (n-1)b]

Sn = ½ × n × [2a + (n-1)b]

Sn = ½ × 17 × [2×102 + (17-1)6]

Sn = ½ × 17 × [204 + (16)6]

Sn = ½ × 17 × [204 + 96]

Sn = ½ × 17 × 300

• ½ × 300 = 150

Sn = 17 × 150

Sn = 2550

Jadi, jumlah kelipatan 2 dan 6 antara 100 dan 200 adalah 2550.

Baca juga :

1. Berapakah Jumlah Bilangan Kelipatan 3 Yang Habis Dibagi 5 Antara 10 dan 100?
2. Mencari Tanggal Berenang Bersama Kembali Antara Dua Orang
3. Mencari KPK dan FPB dari 4a2b3 dan 6a3b2

Rumus deret aritmetika Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertama?

Jumlah suku pertama berarti yang kita akan menggunakan rumus "Sn". Kita bisa dengan cepat mencari jumlahnya.

Soal :

1. Rumus suatu deret aritmetika adalah Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertamanya?

Dalam soal sudah diketahui rumus suku ke-n :

• Un = 2n + 1

---

Mencari suku awal (a) dan beda (b)

---

Untuk mencari suku awal dan beda, kita akan mencari suku pertama, kedua dan ketiga lebih dulu.

Suku awal (U₁)

Un = 2n + 1

U₁ = 2.1 + 1

U₁ = 2 + 1

U₁ = 3

Ingat ya!!
U₁ = a

Suku kedua (U₂)

Un = 2n + 1

U₂ = 2.2 + 1

U₂ = 4 + 1

U₂ = 5

Suku ketiga (U₃)

Un = 2n + 1

U₃ = 2.3 + 1

U₃ = 6 + 1

U₃ = 7.

Sehingga deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 3, 5, 7

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 3

b = 2.

Atau beda juga bisa diperoleh dengan mengurangkan suku ketiga dan kedua, hasilnya sama.

---

Mencari jumlah 10 suku pertama

---

Dari perhitungan diatas, kita sudah mendapatkan dua data :

• suku awal (a) = 3
• beda (b) = 2

Untuk mencari jumlah 10 suku pertama, kita akan menggunakan rumus berikut :

Sn = ½n [2a + (n-1)b]

• n = 10, karena yang dicari adalah jumlah 10 suku pertama

Sehingga :

S₁₀ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₀ = ½.10 [2.3 + (10-1)2]

S₁₀ = 5 [6 + (9)2]

S₁₀ = 5 [6 + 18]

S₁₀ = 5 [24]

S₁₀ = 120.

Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 120.

Soal :

2. Hitunglah jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika yang mempunyai rumus Un = 3n - 1!

Rumus deretnya :

• Un = 3n - 1

---

Mencari suku awal (a) dan beda (b)

---

Cari suku pertama, kedua dan ketiga dulu.

Suku awal (U₁)

Un = 3n - 1

U₁ = 3.1 - 1

U₁ = 3 - 1

U₁ = 2

Suku kedua (U₂)

Un = 3n - 1

U₂ = 3.2 - 1

U₂ = 6 - 1

U₂ = 5

Suku ketiga (U₃)

Un = 3n - 1

U₃ = 3.3 - 1

U₃ = 9 - 1

U₃ = 8.

Deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 2, 5, 8

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 2

b = 3.

---

Mencari jumlah 12 suku pertama

---

Ada dua data yang sudah diperoleh, yaitu :

• suku awal (a) = 2
• beda (b) = 3

Masukkan ke dalam rumus "Sn"

Sn = ½n [2a + (n-1)b]

• n = 12, karena yang dicari adalah jumlah 12 suku pertama

Sehingga :

S₁₂ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₂ = ½.12 [2.2 + (12-1)3]

S₁₂ = 6 [4 + (11)3]

S₁₂ = 6 [4 + 33]

S₁₂ = 6 [37]

S₁₂ = 222

Sehingga, jumlah 12 suku pertama adalah 222.

Baca juga ya :

1. Cara Cepat Mencari Deret 3 Buah Bilangan Ganjil Jika Diketahui Jumlah Ketiganya 45
2. Deret Aritmetika, x, (3x-3), (2x+3), 12, 15, Berapa Nilai Dari (2x + 5)?
3. Berapakah Jumlah Deret 1 + 3 + 5 +.....+ 77 ??

Diketahui Tiga Suku Pertama Deret Aritmetika (x+1), (3x-1), (2x + 4). Berapakah Suku ke-5 dan Suku ke-7?

Mengingat soalnya masih terdiri dari variabel x, maka kita harus menemukan dulu berapa nilai yang pas untuk variabel ini.

Langsung saja kita kerjakan..

Soal :

1. Tiga suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah (x+1), (3x-2), (2x+4). Berapakah nilai dari suku ke-5 dan suku ke-7?

Ketika bertemu dengan soal seperti ini, kita bisa menggunakan salah satu sifat dari deret aritmetika, yaitu bedanya.

Beda dari sebuah deret aritmetika selalu sama

---

Mencari x

---

Data dari soal sebagai berikut :

• U₁ = x +1
• U₂ = 3x - 2
• U₃ = 2x + 4

Ingat!!
Beda dari deret tersebut bisa dicari dengan menggunakan rumus :

beda (b) = U₂ - U₁ atau U₃ - U₂

Karena bedanya (b) bernilai sama, maka :

U₃ - U₂ = U₂ - U₁

(2x + 4) - (3x -2) = (3x - 2) - (x +1)

• untuk membuka kurung -(3x -2) kalikan (-) dengan 3x hasilnya -3x, kalikan (-) dengan (-2) hasilnya +2
• kemudian, untuk membuka -(x+1) kalikan (-) dengan x hasilnya -x dan kalikan (-) dengan +1 hasilnya -1
• untuk (2x+4) dan (3x-2) langsung dibuka saja karena tidak ada tanda di depannya atau bertanda positif.

2x + 4 -3x + 2 = 3x - 2 -x - 1

-x + 6 = 2x -3

• pindahkan 2x ke ruas kiri menjadi -2x
• pindahkan 6 ke ruas kanan menjadi -6

-x - 2x = -3 - 6

-3x = -9

• agar mendapatkan x, bagi -9 dengan -3

x = -9 : -3

x = 3.

---

Mencari nilai masing-masing suku

---

Sekarang kita bisa mencari berapa nilai dari masing-masing suku tersebut..


U₁ = x +1

• ganti x = 3

U₁ = 3 +1

U₁ = 4

U₂ = 3x - 2

• ganti x = 3

U₂ = 3.3 - 2

U₂ = 9 - 2

U₂ = 7

U₃ = 2x + 4

• ganti x = 3

U₃ = 2.3 + 4

U₃ = 6 + 4

U₃ = 10

Deret tiga suku pertama adalah (4, 7, 10)

---

Mencari beda

---

Untuk mendapatkan beda, tinggal kurangkan saja suku ke-2 dengan suku ke-1

b = U₂ - U₁

b = 7 - 4

b = 3


Atau

b = U₃ - U₂

b = 10 - 7

b = 3


Sehingga diperoleh bedanya (b) = 3.

---

Mencari suku ke-5

---

Rumus untuk mendapatkan suku ke-n adalah :

Un = a + (n-1)b

Dari hasil perhitungan diatas sudah diperoleh bahwa :

• tiga suku pertama adalah 4, 7, 10
  sehingga suku awal (a) = 4
• beda (b) = 3

Sekarang kita bisa menghitung suku ke-5

U₅ = a + (n-1)b

U₅ = 4 + (5-1)3

U₅ = 4 + 4.3

U₅ = 4 + 12

U₅ = 16

---

Mencari suku ke-7

---

Un = a + (n-1)b

• U₇ artinya n = 7
• a = 4
• b = 3

U₇ = 4 + (7-1)3

U₇ = 4 + 6.3

U₇ = 4 + 18

U₇ = 22

Jadi, sudah diperoleh nilai dari suku ke-5 dan ke-7 yaitu 16 dan  22.

Baca juga ya :

1. Deret Aritmetika U3 = 10 dan U6 = 19, Berapakah Nilai dari U10?
2. Tali Dipotong 5 Bagian Membentuk Deret Aritmetika. Potongan Pertama 12 cm dan Terakhir 24 cm, Berapa Panjang Semula?
3. Jika Dalam Deret Aritmetika U4 = 13 dan U6 = 19, Berapakah Nilai Dari U10?

Jumlah Suku ke-2 dan ke-3 Deret Geometri 18, Jumlah Suku ke-3 dan ke-4 = 36. Berapakah Suku ke 5?

Masing-masing suku diganti dengan rumusnya sendiri-sendiri, sehingga kita bisa mendapatkan persamaan.

Persamaan yang bisa kita gunakan untuk mencari suku awal dan rasio.

Berikut adalah contoh soalnya :

Soal :

1. Jumlah suku ke-2 dan ke-3 suatu deret geometri adalah 18. Sedangkan jumlah suku ke-3 dan ke-4 adalah 36.

Berapakah suku ke-lima?

Kita lihat penjumlahan yang pertama.

---

Jumlah suku ke-2 dan ke-3 = 18

---

Rumus suku deret geometri adalah :

Un = a.r^n-1

Kemudian kita bisa mencari suku ke-2.

U₂ = a.r^2-1

U₂ = a.r¹

U₂ = a.r ....①



Un = a.r^n-1

U₃ = a.r^3-1

U₃ = a.r² ....②

Kemudian :

U₂ + U₃ = 18

• ganti U₂ sesuai persamaan ①
• ganti U₃ sesuai persamaan ②

ar + a.r² = 18

• untuk ruas kiri difaktorkan, sehingga bisa dikeluarkan "ar"

ar (1 + r) = 18 

• pindahkan ar ke ruas kiri menjadi pembagi

      ....③

---

Jumlah suku ke-3 dan ke-4 = 36

---

Un = a.r^n-1

U₃ = a.r^3-1

U₃ = a.r² ....④


Un = a.r^n-1

U₄ = a.r^4-1

U₄ = a.r³ ....⑤

U₃ + U₄ = 36

• ganti U₃ dengan hasil pada persamaan ④
• ganti U₄ dengan hasil pada persamaan ⑤

ar² + ar³ = 36

• faktorkan yang diruas kiri dengan mengeluarkan ar²

ar²(1 + r) = 36 ...⑥

---

Mencari nilai "a" dan "r"

---

Sekarang kita akan menggunakan persamaan ③ dan ⑥

ar²(1 + r) = 36 ...⑥

• Masukkan persamaan ③ dan ganti 1+r

Cara :

• "a" dicoret dengan "a" dan hilang
• r² dibagi r, sisa r

r = 2.

Setelah mendapatkan "r", kita bisa mencari "a" menggunakan persamaan ⑥

ar²(1 + r) = 36

• ganti r = 2

a.2²(1 + 2) = 36

4a (3) = 36

12a = 36

• Untuk mendapatkan a, bagi 36 dengan 12

a = 36 : 12

a = 3.

---

Mencari suku ke-5

---

Rumus mencari suku pada deret geometri adalah :

Un = a.r^n-1


Dan kita bisa mencari suku ke-5

U₅ = a.r^5-1

U₅ = a.r⁴

• ganti a = 3
• ganti r = 2

U₅ = 3.2⁴

U₅ = 3.16

U₅ = 48

Jadi diperoleh U₅ = 48

Baca juga ya :

1. Diketahui U3 dan U6 Dari Deret Geometri Adalah 12 dan 96. Berapakah U2?
2. Setiap Bakteri Membelah Menjadi 2 Setiap 20 Menit. Jika Pada Awalnya Ada 10 Bakteri, Berapa Jumlahnya Setelah 1 Jam?
3. Tali Dipotong Menjadi 6 Bagian Membentuk Deret Geometri. Jika Panjang Potongan Pertama dan Ketiga 6 cm dan 24 cm, Berapa Panjang Tali Semula?

Tali Dipotong Menjadi 6 Bagian Membentuk Deret Geometri. Jika Panjang Potongan Pertama dan Ketiga 6 cm dan 24 cm, Berapa Panjang Tali Semula?

Berarti kita akan menggunakan bantuan dari rumus deret geometri untuk memecahkan soal seperti ini, mengingat pada soal diketahui potongan talinya membentuk deret geometri.

Soal :

1. Tali dipotong menjadi enam bagian membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan pertama dan ketiga 6 cm dan 24 cm, berapakah panjang tali semula?

Barisan untuk potongan tali adalah barisan geometri.

• U₁ = 6 cm
• U₃ = 24 cm

---

Mengubah U₁ dan U₃

---

Rumus suku ke-n untuk deret geometri adalah :

Un = a.r^n-1

U₁ adalah suku awal deret, jadi U₁ = a

Sehingga :

• a = U₁ = 6

Sekarang kita akan menggunakan suku ketiga untuk mendapatkan nilai rasio (r) dari deret pada soal diatas.

Un = a.r^n-1

U₃ = a.r^3-1

• ganti U₃ = 24
• a = 6

24 = 6.r^3-1

24= 6.r²

• untuk mendapatkan r², bagi 24 dengan 6

r² = 24 : 6

r² = 4

• untuk mendapatkan r, akarkan 4

r = √4

r = 2.

---

Mencari panjang tali semula

---

Untuk mendapatkan panjang tali semula, kita akan menggunakan rumus penjumlahan semua suku yang ada.

Akhirnya diperolehlah panjang tali pada mulanya.

Kita sudah mendapatkan beberapa data :

• a = 6
• r = 2

Masukkan ke dalam rumus penjumlahan (Sn).

• Karena mencari jumlah 6 sukunya, maka "n" diganti dengan 6.

Sehingga diperoleh panjang tali semula adalah 378 cm.

Soal :

2. Tali dipotong menjadi empat bagian membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan pertama dan terakhir 10 cm dan 270 cm, berapakah panjang tali semula?

Barisan untuk potongan tali adalah geometri.

• U₁ = 10 cm
• U₄ = 270 cm (karena dibagi menjadi empat potongan, maka panjang  tali terakhir sama dengan suku ke-4)

---

Mengubah U₁ dan U₄ untuk mendapatkan rasio

---

Rumus suku ke-n untuk deret geometri adalah :

Un = a.r^n-1

Ingat!!
U₁ adalah suku awal deret, jadi U₁ = a

Sehingga :

• a = U₁ = 10

Gunakan rumus Un untuk mendapatkan rasionya dan yang digunakan adalah suku ke-4.

Un = a.r^n-1

U₄ = a.r^4-1

• ganti U₄ = 270
• a = 10

270 = 10.r^4-1

270 = 10.r³

• untuk mendapatkan r³, bagi 270 dengan 10

r³ = 270 : 10

r³ = 27

• untuk mendapatkan r, akar tigakan 27

Kita dapatkan rasionya 3.

---

Mencari panjang tali semula

---

Panjang tali semula bisa diperoleh dengan menggunakan rumus penjumlahan dari semua suku yang ada.

Kita sudah mendapatkan beberapa data :

• a = 6
• r = 2
• n = 4 (karena tali dibagi menjadi empat bagian)

Masukkan ke dalam rumus penjumlahan (Sn).

Kita dapatkan bahwa panjang tali semula adalah 400 cm.

Baca juga :

1. Diketahui U3 dan U6 Dari Deret Geometri Adalah 12 dan 96. Berapakah U2?
2. Setiap Bakteri Membelah Menjadi 2 Setiap 20 Menit. Jika Pada Awalnya Ada 10 Bakteri, Berapa Jumlahnya Setelah 1 Jam?
3. Berapakah Jumlah Deret 1 + 3 + 5 +.....+ 77 ??