Panjang busur juring 40 derajat adalah 12 cm. Maka panjang busur juring dengan sudut 60 derajat adalah..

Mendapatkan panjang busur sebuah juring jika sudah diketahui panjang busur dari juring yang lain bisa digunakan dengan cara pintas yang cepat..

Tidak perlu mencari kelilingnya.

Soal :

1. Sebuah juring yang besarnya 40⁰ memiliki panjang busur 12cm. Berapakah panjang busur dari juring yang memiliki sudut 60⁰?

Mau cara yang susah?
Boleh..

Saya beri bocorannya sedikit..
Silahkan cari dulu berapa keliling dari lingkarannya menggunakan data 40⁰ dengan panjang busur 12cm.

Mau mencobanya??

Atau mau yang lebih cepat saja?
Kita pakai yang lebih singkat saja yuk..

Cara pertama → perbandingan

Inilah cara pertama yang paling cepat dalam menemukan panjang busur yang besar juringnya 60 derajat.

Perhatikan yang diketahui pada soal.

40⁰ → 12cm
60⁰ → n cm

Yang 60⁰ dimisalkan dulu dengan "n", karena belum diketahui nilainya.

Perbandingan yang digunakan adalah perbandingan senilai atau sebanding. Karena semakin besar derajat juringnya, semakin besar pula panjang busurnya.

Cara menyelesaikannya adalah mengalikan silang.

• 40 dikali dengan n
• 60 dikali dengan 12.

40 × n = 60 × 12

• pindahkan 40 ke ruas kanan sehingga menjadi pembagi

• 60 dan 40 bisa sama-sama dicoret nolnya

• 12 dan 4 bisa sama-sama dibagi 4

Sehingga kita memperoleh 6 dikali 3 yang hasilnya 18cm.

Jadi panjang busur juring dengan besar sudut 60⁰ adalah 18 cm.
Dengan cara ini kita tidak perlu mencari keliling lingkarannya lagi.

Hasilnya langsung ditemukan.

Cara kedua → Mencari besar juring 1⁰

Sekarang kita coba cara kedua, yaitu mencari panjang juring yang besar sudutnya 1 derajat. Gunakan data yang diketahui.

Pada soal diketahui juring sebesar 40⁰ panjang busurnya 12 cm.

40⁰ → 12cm

Kita cari panjang busur 1⁰ dulu..

• Karena ingin mendapatkan besar 1⁰, maka kita bagi 40⁰ dengan 40 (Agar menjadi 1 harus dibagi dengan angka yang sama)
• Begitu juga dengan 12 cm, harus dibagi dengan 40.
• Jika di ruas kiri dibagi dengan 40, di ruas kanan juga harus dibagi dengan 40

Sehingga kita mendapatkan nilai dari 1⁰.

---

Untuk mendapatkan panjang busur juring yang besarnya 60⁰, tinggal kalikan saja 60 dengan 1⁰. Hitung dan selesai..

1⁰ diganti dengan hasil perhitungan diatas.
Dan kitapun mendapatkan hasil dari 60⁰, yaitu 18cm.

Hasilnya sama dengan cara perbandingan..
Selamat mencoba..

Baca juga :

1. Sebuah Juring Lingkaran Sudutnya 300 dan Jari-jarinya 10 cm, Berapa Panjang Busur dan Luas Juringnya?
2. Mencari Panjang Busur dan Luas Sebuah Juring Lingkaran
3. Sebuah Juring Memiliki Panjang Busur 22 cm. Jika Jari-jari Lingkaran 21 cm, Berapa Sudut Juring Tersebut?

Mencari gradien garis yang diketahui gambar grafiknya

Menentukan gradien garis dari sebuah grafik ada dua cara dan akan dijelaskan lebih lanjut pada pembahasan soalnya..

Soal :

1. Hitunglah gradien garis pada gambar dibawah ini..

Ada dua cara, yaitu cara rumus dan perhitungan cepat.
Mau yang cepat ya?

Sabar dulu dong..

Cara rumus

Mari perhatikan grafik diatas. Kita tentukan dulu koordinat dua titik yang sudah diketahui.

Pertama yang ada -3.

• Dititik ini, -3 adalah nilai sumbu x
• Sedangkan sumbu y nilainya 0 (karena terletak di sumbu x)
• Jadi titik koordinatnya adalah (-3,0)

Kedua, titik yang ada 4.

• Dititik ini, 4 adalah nilai sumbu y
• Sedangkan sumbu x nilainya 0 (karena menempel disumbu y)
• Titik koordinat disini adalah (0,4)

---

Sudah ada dua titik, yaitu (-3,0) dan (0,4)

(-3,0) :

• x₁ = -3
• y₁ = 0

(0,4) :

• x₂ = 0
• y₂ = 4

Rumus untuk mencari gradien adalah :

• m = gradien

Masukkan nilai diatas ke dalam rumusnya.

Dan gradien garis diatas adalah ⁴∕₃.

Cara lebih cepat

Kita perhatikan lagi gambarnya..

Perhatikan lagi grafik diatas

• Kita cari jarak pada sumbu x, dari titik 0 ke titik -3.
  Jaraknya adalah 3 (nilai minus jangan dipakai)
• Kemudian pada sumbu y, dari titik 0 ke titik 4
  Jaraknya adalah 4

Sehingga sudah diperoleh :

• x = 3
• y = 4

Kemudian pakai rumus ini, rumusnya hampir sama dengan cara pertama.

Masukkan nilai x dan y

Tips!

Untuk cara ini, harus diperhatikan arah kemiringan garisnya.

• Jika garisnya mengarah ke kanan atas, maka gradiennya positif
• Jika garisnya mengarah ke kiri atas, maka gradiennya negatif.

Untuk soal ini, gambar grafiknya mengarah ke kanan atas, sehingga gradiennya positif.

Baca juga :

• Garis "m" Tegak Lurus Dengan Garis 2x - 6y = 3. Berapakah Gradien Garis "m"?
• Mencari Gradien Garis "a" Yang Memiliki Persamaan 2x + y = 4
• #4 Contoh Soal Mencari Gradien Garis Lurus

Hitunglah nilai x pada 4x + 4 > 2x + 8

Menghitung nilai x pada suatu pertidaksamaan langkahnya sama dengan mendapatkan x pada suatu persamaan.

Tapi ada perbedaan sedikit.
Jika dibagi dengan tanda minus, maka tanda pertidaksamaan terbalik. Nanti akan dijelaskan lagi pada soalnya.

Soal :

1. Hitunglah nilai x pada pertidaksamaan berikut : 4x + 4 > 2x + 8!

Kita tuliskan soalnya lagi..

4x + 4 > 2x + 8

• Kumpulkan suku yang sejenis
• Yang ada "x", kita kumpulkan disebelah kiri dan yang tidak ada "x" dikumpulkan disebelah kanan

Sehingga :

• Pindahkan 2x ke ruas kiri sehingga menjadi -2x
• pindahkan +4 ke ruas kanan sehingga menjadi -4

4x - 2x > 8 - 4

2x > 4

• Untuk mendapatkan "x", bagi 4 dengan 2

x  > 4 ÷ 2

x > 2

Jadi, nilai x yang digunakan haruslah lebih dari 2 (x>2), agar pertidaksamaan tersebut bernilai benar. 

Himpunan penyelesaian dari x > 2 = {3,4,5,6,.....}

Kita tidak boleh menggunakan 2 karena tidak ada tanda sama dengan dibawah tanda ">". Jika tandanya seperti ini "≥", maka 2 harus dipakai.

Soal :

2. Nilai x pada x - 5 < 3x + 7 adalah...

Ok..
Kita coba soal berikutnya..

x - 5 < 3x + 7

• Kumpulkan suku yang ada "x" disebelah kiri dan yang tidak ada "x" disebelah kanan
• Pindahkan 3x ke ruas kiri menjadi -3x
• Pindahkan -5 ke ruas kanan menjadi +5

x - 3x < 7 + 5

-2x < 12

• Untuk mendapatkan x, maka 12 harus dibagi dengan -2

x > 12 ÷ -2

Perhatikan!!

• Tanda yang sebelumnya "<" sekarang menjadi ">"
• Itu karena dibagi oleh tanda negatif (-) dari -2, maka pertidaksamaan mengalami perubahan
• Jika sebelumnya "<", akan menjadi ">". Jika sebelumnya ">" akan menjadi "<".

Jelas ya..

x > -6

Himpunan penyelesaian dari x > -6 = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,....}

-6 tidak ikut karena dibawah tanda > tidak ada tanda sama dengan.

Baca juga :

1. Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2
2. #1 Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
3. Mencari Nilai X dan Y dengan Metode Eliminasi Dari 2x + 3y = 13 dan x - 2y = -4

Diketahui data : a, 61, 65, 63, 67 memiliki rata-rata 63. Berapakah nilai a?

Ketika diketahui rata-rata suatu data, kita bisa dengan mudah mencari satu data yang belum diketahui nilainya.

Soal :

1. Diketahui data sebagai berikut : a, 61, 65, 63, 67 memiliki rata-rata 63.
Berapakah nilai dari a?

Pada soal diketahui nilai data dan rata-ratanya.
Kita bisa mencari jumlah datanya dulu..

Jumlah data = a + 61 + 65 + 63 + 67
= a + 256.

---

Sekarang kita mempunyai :

• Jumlah data = a + 256
• banyak data (n) = 5
  Ada 5 nilai data, sehingga banyak datanya 5.
• rata-rata = 63

Gunakan rumus rata-rata untuk mencari nilai a.

Selanjutnya :

• kalikan silang antara 63 dan 5
• sedangkan a + 256 tetap karena tidak memiliki kawan untuk dikalikan silang

63 × 5 = a + 256

315 = a + 256

• untuk mendapatkan a, pindahkan +256 ke ruas kiri menjadi -256

315 - 256 = a

59 = a.

Jadi nilai a yang dimaksud adalah 59.

Soal :

2. Hitunglah nilai  a pada data berikut, jika rata-ratanya diketahui 73. Datanya adalah 68, a, 75, 71, 75.

Langsung cari jumlah datanya.

Jumlah data = 68 + a + 75 + 71 + 75
= a + 289.

---

Sehingga kita memiliki :

• Jumlah data = a + 289
• banyak data (n) = 5
  Ada 5 nilai data, sehingga banyak datanya 5.
• rata-rata = 73

Masih menggunakan rumus rata-rata, masukkan yang sudah diketahui pada rumus dan kita bisa menghitung nilai "a".

Selanjutnya :

• kalikan silang antara 73 dan 5
• sedangkan a + 89 tetap karena tidak memiliki kawan untuk dikalikan silang

73 × 5 = a + 289

365 = a + 289

• untuk mendapatkan a, pindahkan +289 ke ruas kiri menjadi -289

365 - 289 = a

76 = a.

Kita mendapatkan nilai "a" = 76.

Baca juga :

1. Rata-rata Nilai 8 Murid 80. Jika Masuk Seorang Murid yang Nilainya 89, Berapa Rata-rata yang Baru?
2. #5 Mencari Rata-rata Total Jika Diketahui Rata-rata Berat Pria dan Berat Wanitanya
3. #3 Mencari Nilai Rata-rata Baru Jika Ada Satu Murid yang Menyusul

Sebuah kandang dikerjakan 6 orang selama 12 hari. Jika pekerjaan ingin dituntaskan 9 hari, berapa pekerja tambahan diperlukan?

Sebelum bisa mendapatkan pekerja tambahan yang diperlukan, kita harus tentukan jenis perbandingan dalam soal ini.

Senilai atau berbalik nilai..

Soal :

1. Sebuah kandang dikerjakan oleh 6 orang selama 12 hari. Jika pekerjaan ingin dituntaskan dalam waktu 9 hari, berapa pekerja tambahan yang diperlukan?

Mari kita cek soalnya..

• Pekerjaan sekarang dilakukan oleh 6 orang selama 12 hari.
• Pekerjaan ingin selesai dalam waktu 9 hari, artinya harus lebih cepat dari yang dijadwalkan semula
• Jika ingin selesai lebih cepat, maka jumlah pekerja harus ditambah

Ketika jumlah pekerja bertambah dan waktu pengerjaan berkurang, inilah yang disebut perbandingan tidak senilai atau berbanding terbalik.

Jadi kita akan menuntaskan soal ini dengan konsep perbandingan terbalik. Langkahnya sangat mudah.

---

Proses penyelesaiannya

---

Pertama kita hanya perlu menuliskan data yang diketahui seperti ini.

6 orang → 12 hari
n orang → 9 hari

• Untuk yang 9 hari, karena banyak orangnya belum diketahui, kita gunakan saja "n" sebagai permisalan.

Perhatikan :

• Penulisannya mesti teratur, misalnya jumlah orang disebelah kiri tanda panah, maka yang dibawahnya juga harus jumlah orang. Jangan jumlah hari.
• Begitu juga dengan sebelah kanan tanda panah, jika diatasnya jumlah hari, dibawahnya harus hari juga ya..

Sekarang perhatikan lagi dibawah ini..

Selanjutnya :

• Kalikan yang atas dengan atas, yaitu 6 dengan 12 = 72
• Kalikan yang bawah dengan bawah, yaitu n dengan 9 = 9n

Kemudian, keduanya dimasukkan ke dalam persamaan.

6 × 12 =  n × 9

72 = 9n

• untuk mendapatkan n, bagi 72 dengan 9

n = 72 ÷ 9

n = 8

Disini kita memperoleh jumlah pekerja agar kandang selesai dalam waktu 9 hari adalah 8 orang

---

Mencari banyak pekerja tambahan

---

Perhatikan lagi dalam soal, jangan langsung menjawab 8 orang ya. Jika menjawab ini, berarti anda sudah masuk ke dalam jebakan.

Yang ditanyakan adalah banyak pekerja tambahan

Untuk mencari banyak pekerja tambahan, caranya adalah..

Pekerja tambahan = Banyak pekerja sekarang - banyak pekerja sebelumnya
Pekerja tambahan = 8 orang - 6 orang
Pekerja tambahan = 2 orang


Jadi, dibutuhkan 2 orang lagi agar pekerjaan bisa selesai dalam waktu 9 hari..

Soal :

2. Sebuah rumah dibangun selama 20 hari oleh 15 orang pekerja, jika dibangun oleh 12 orang, berapa lama rumah itu akan selesai..?

Soal ini masih menggunakan konsep perbandingan terbalik, karena jika jumlah pekerjanya sedikit, waktu yang diperlukan lebih lama.

---

Proses penyelesaiannya

---

Tulis data pada soal.

20 hari → 15 orang
n hari   → 12 orang

• Untuk pekerja 12 orang kita belum tahu berapa hari, jadi misalkan dengan "n" saja
• Perhatikan, jumlah hari ditulis disebelah kiri tanda panah, dan jumlah orang ditulis disebelah kanan tanda panah.
• Jumlah hari bebas ditulis di kiri atau kanan tanda panah, yang penting jika diatasnya hari dibawahnya hari juga. Atau diatasnya orang, dibawahnya orang juga.

Ikuti tanda panah perkaliannya.. 

Untuk perbandingan terbalik atau tidak senilai, caranya seperti ini.

20 × 15 =  n × 12

300 = 12n

• untuk mendapatkan n, bagi 300 dengan 12

n = 300 ÷ 12

n = 25 hari

Pekerjaan akan selesai dalam waktu 25 hari jika dilakukan oleh 12 orang. 

Dari hasil itu diperoleh kesimpulan bahwa jika dilakukan oleh 15 orang rumah selesai dalam waktu 20 hari. Kemudian jika pekerjanya dikurangi menjadi 12 orang, waktunya selesainya semakin lama, yaitu 25 hari.

Baca juga :

1. Mencari Jumlah Pekerja Jika Waktu Pembangunan Dipercepat
2. Pekerjaan Dikerjakan 10 Orang Selama 20 Hari. Pekerjaan di hentikan 5 hari, Berapa Tambahan Pekerja yang Diperlukan?
3. Andi Menyelesaikan Patung 12 hari dan Budi 6 Hari. Jika Mereka Bekerja Bersama, Berapa Hari Patung Selesai?

Perbandingan sudut A dan sudut B dari belah ketupat adalah 2 : 3. Hitung besar sudut-sudutnya!

Belah ketupat merupakan segiempat yang mempunyai sisi sama panjang, dan sudut-sudut yang berdekatan mempunyai sifat tertentu.

Sifat inilah yang membantu dalam pengerjaan soal ini.

Soal :

1. Perbandingan sudut A dan B dari belah ketupat adalah 2 : 3. Hitunglah besar sudut A dan B?

Ok..
Mari kita lihat gambar belah ketupatnya..

Dalam menentukan titik-titik sebuah bangun datar, kriterianya sebagai berikut :

• Titik A dan B pasti berdekatan, tidak mungkin saling berjauhan. Sehingga A pasti disampingnya B
• Lihat perbandingan sudutnya, A dan B adalah 2 : 3. Berarti A lebih kecil dari B, sehingga A diletakkan pada titik dengan sudutnya yang lebih kecil di banding B.
  Jangan terbalik ya..

---

Menggunakan cara "n"

---

Sekarang kita bisa menghitung besar sudut A dan B.
Gunakan perbandingan yang sudah ada..

Tambahkan "n" :

• Perbandingan dari A adalah 2, sehingga besar A sebenarnya adalah 2n
• Perbandingan dari B adalah 3, sehingga besar B sebenarnya adalah 3n

Cara "n" inilah yang akan kita gunakan agar lebih mudah menemukan besar sudutnya.

Tips!
Jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada belah ketupat adalah 180⁰. Inilah sifat yang memudahkan kita dalam perhitungan.

Berarti :

A + B = 180

• A = 2n
• B = 3n

2n + 3n = 180

5n = 180

• untuk mendapatkan "n", bagi 180 dengan 5

n = 180 : 5

n = 36

---

Menghitung besar sudutnya

---

Nilai "n" sudah diperoleh dan sekarang kita bisa menghitung besar sudutnya masing-masing. Caranya sangat mudah sekali.

A = 2n
A = 2×n
A = 2×36
A = 72⁰


B = 3n
B = 3×n
B = 3×36
B = 108⁰

---

Sudut C dan D

---

Menentukan kedua sudut ini lebih gampang lagi jika sudah diketahui sudut A dan B. Mari perhatikan caranya.

A saling berhadapan dengan C, Sehingga C besarnya sama dengan A.

C = A
C = 72⁰

B saling berhadapan dengan D, sehingga besarnya sama.

D = B
D = 108⁰

Soal :

2. Sudut B dan C pada belah ketupat memiliki perbandingan 2 : 1. Tentukan besar sudutnya masing-masing!

Gambar yang digunakan masih sama seperti gambar diatas.

• Perbandingan B : C = 2 : 1
• Berarti sudut B lebih besar dari C
• Sehingga gambarnya sesuai dengan gambar diatas, dimana sudut B lebih besar dari sudut C

Kemudian :

• Dua titik yang berurutan pasti saling berdekatan dan tidak berseberangan.

---

Menggunakan cara "n"

---

Ingat lagi tips diatas!

Dua sudut yang berdekatan pada belah ketupat selalu berjumlah 180⁰

Lihat lagi cara "n"

• Perbandingan B : C = 2 : 1
• Perbandingan B adalah 2, sehingga besar sebenarnya adalah 2n
• Perbandingan C adalah 1, sehingga besar sebenarnya adalah 1n 

Karena kedua sudut ini saling berdekatan, maka jumlah keduanya adalah 180⁰

B + C = 180

• B = 2n
• C = 1n

2n + 1n = 180

3n = 180

• untuk mendapatkan "n", bagi 180 dengan 3

n = 180 : 3

n = 60

---

Menghitung besar sudutnya

---

Sekarang kita bisa menghitung besar sudutnya.

B = 2n
B = 2×n
B = 2×60
B = 120⁰

C = 1n
C = 1 × n
C = 1 × 60
C = 60⁰

Kemudian :

• A = C = 60⁰
• B = D = 120⁰

Baca juga :

1. Keliling Suatu Belah Ketupat 52 cm. Jika Panjang Satu Diagonal 24 cm, Berapa Luasnya?
2. Mencari Luas Belah Ketupat Jika Diketahui Keliling Dan Satu Diagonalnya
3. Sebuah Kamar Dengan Ukuran 4m x 3m Dipasangi Ubin Ukuran 20 cm x 20 cm. Berapa Ubin Diperlukan?

Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, .... adalah..

Jika diketahui deret dari suatu bilangan, kita bisa menghitung rumus suku ke-n berdasarkan rumus umum yang sudah dipelajari.

Tapi harus ditentukan dulu deretnya apakah aritmetika atau geometri.

Soal :

1. Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, ... adalah...

Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 5
U3 = 8
U4 = 11

Kita coba cari bedanya dulu, kalau bedanya sama berarti aritmetika.

beda (b) = U2 - U1
b = 5 - 2
b = 3

Sekarang cek beda dari suku ketiga dan kedua

b = U3 - U2
b = 8 - 5
b = 3

Ternyata bedanya sama, maka deret diatas adalah deret aritmetika.

---

Menentukan suku awal dan beda

---

Deretnya adalah 2, 5, 8, 11, ...

Suku awal (a) dari deret itu adalah 2
Jadi a = 2.

Sedangkan bedanya (b) sudah dihitung diatas, yaitu b = 3

---

Menentukan rumus Un

---

Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a + (n-1)b

Sekarang masukkan a dan b ke dalam rumus.

• a = 2
• b = 3

Un = a + (n-1)b

Un = 2 + (n-1)3

• Untuk membuka kurung (n-1)3, caranya adalah dengan mengalikan 3 dengan n = 3n
• kemudian kalikan 3 dengan -1 = -3
• Semua yang didalam kurung harus dikalikan dengan yang diluar kurung

Un = 2 + 3n - 3

Un = 3n + 2 - 3

Un = 3n - 1

Jadi, rumus suku ke-n dari deret diatas adalah Un = 3n - 1.

Soal :

2. Diketahui deret 2, 4, 8, 16,...
Rumus suku ke-n adalah...

Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 4
U3 = 8
U4 = 16

Deret diatas, jika dicari bedanya, tidak sama antara U2 - U1 dengan U3 - U2. Jadi, kita coba pakai deret geometri, yaitu dicari rasionya.

Rasio (r) dicari dengan membagi dua suku berdekatan.

r = U2 : U1
r = 4 : 2
r = 2

atau

r = U3 : U2
r = 8 : 4
r = 2

Nah, rasio (r) sama.
Berarti ini adalah deret geometri.

---

Menentukan suku awal dan beda

---

Kita lihat deretnya lagi..
2, 4, 8, 16, ...

Suku awal (a) = 2
Rasio (r) = 2

---

Menentukan rumus Un

---

Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a.r^n-1

Masukkan a dan r ke dalam rumus

Un = a.r^n-1
Un = 2.2^n-1

Sampai disana, rumusnya sudah benar. Tapi jika ingin dibuat lebih sederhana lagi, bisa.

Un = 2.2^n-1
Un = 2×2^n-1
Un = 2¹×2^n-1

• Jika bilangan pokok, dalam rumus diatas 2, sudah sama, jika dikali maka pangkatnya ditambah

Un = 2^1+n-1

Un = 2ⁿ

Itulah rumus suku ke-n.

Baca juga :

1. Cara Cepat Mencari Deret 3 Buah Bilangan Ganjil Jika Diketahui Jumlah Ketiganya 45
2. Deret Aritmetika, x, (3x-3), (2x+3), 12, 15, Berapa Nilai Dari (2x + 5)?
3. Berapakah Jumlah Deret 1 + 3 + 5 +.....+ 77 ??