Home Posts filed under Persamaan Kuadrat
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts
Showing posts with label Persamaan Kuadrat. Show all posts

Mencari Faktor Persamaan Kuadrat x2 + 2x - 8 = 0

✔ de eka sas Comment
Persamaan kuadrat yang diberikan bisa difaktorkan dan sekarang disini akan dijelaskan bagaimana cara mencarinya.

Mari lanjutkan..



Soal :

1. Apakah faktor dari persamaan kuadrat : x² + 2x - 8 = 0 ?


Kita misalkan dulu faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x + a)(x+b) = 0

Untuk mencari nilai dari a dan b, perhatikan penjelasan berikut!!

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² + 2x - 8 = 0

  • Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
    Sehingga a + b = 2
  • Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
    Sehingga a × b = -8

Jelas ya sampai disana??
Sekarang kita sudah mendapatkan dua persamaan..

a + b = 2....①
a × b = -8....②

Kira-kira angka berapa yang cocok memenuhi kedua persamaan tersebut??


Tips!!
Untuk mendapatkan batasan yang jelas, kita gunakan hasil perkaliannya. Yaitu angka berapa saja yang jika dikali menghasilkan -8.

-8 = a × b :

-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8


Dari beberapa hasil perkalian yang menghasilkan -8, pasangan mana (yang berwarna) jika dijumlahkan akan menghasilkan 2??

Pasangan warna biru kan??

Jadi :
  • a = 4
  • b = -2

Coba jumlahkan a dan b, apakah mau menjadi 2??
a + b = 2

4 +(-2) = 2

4 - 2 = 2

2 = 2 (benar)

Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

4 × (-2) = -8

-8 = -8 (benar)



Akhirnya, nilai a dan b sudah ditemukan :

  • a = 4
  • b = -2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + 4)(x + (-2)) = 0

(x + 4)(x - 2) = 0




Soal :

2. Carilah faktor dari persamaan kuadrat : x² - 2x - 8 = 0 ?


Untuk soal yang nomor dua, kita balik sedikit persamaan kuadratnya, yang pada soal pertama +2x, sekarang menjadi -2x.

Caranya masih sama..


Misalkan faktor dari persamaan : x² + 2x - 8 = 0 adalah :
(x + a)(x+b) = 0

Kita lihat lagi persamaan kuadrat asal yaitu x² - 2x - 8 = 0

  • Jika a dijumlahkan dengan b atau (a + b), hasilnya harus menjadi angka di depan x, yang berwarna merah.
    Sehingga a + b = -2
  • Kemudian, jika a dikalikan dengan b, hasilnya harus menjadi angka yang tidak mengandung variabel, yaitu -8 (berwarna orange)
    Sehingga a × b = -8

Kemudian kita mendapatkan :


  • a + b = -2....①
  • a × b = -8....②



Tips!!
Gunakan hasil perkalian dari -8 untuk mendapatkan a dan b


-8 = 4 × -2
-8 = -4 × 2
-8 = 1 × -8
-8 = -1 × 8



Nah, dari hasil perkalian diatas, pasangan mana yang paling pas untuk mengisi nilai a dan b, sehingga kalau dijumlahkan hasilnya -2 dan kalau dikalikan hasilnya -8??


Yang pas adalah pasangan nomor dua, warna hitam, yaitu :

  • a = -4
  • b = 2

Kita jumlahkan a dan b, apakah hasilnya sama dengan -2?

a + b = -2

-4 + 2 = -2

- 2 = - 2 (benar)


Coba kalikan a dan b, apakah mau menjadi -8?

a × b = -8

-4 × 2 = -8

-8 = -8 (benar)




Jadi sudah jelas kalau nilai dari a dan b adalah :

  • a = -4
  • b = 2

Sehingga faktor dari x² + 2x - 8 = 0 adalah :

(x+a)(x+b) = 0

(x + (-4))(x + 2) = 0

(x - 4)(x + 2) = 0



Baca juga :

Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2

✔ de eka sas Comment
Langkah-langkah untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan hampir mirip dengan persamaan.

Tapi hasilnya tidak hanya satu..


Jika pada persamaan hasil yang diperoleh hanya satu, maka pada pertidaksamaan bisa lebih dari itu bahkan tidak terhingga..

Ok, kita coba saja dulu soalnya agar lebih mengerti..




Soal :

 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x - 2 > 4x + 2 adalah....


Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari nilai "x" dulu, setelah itu barulah ditentukan berapa saja himpunan penyelesaiannya.


Menyelesaikan pertidaksamaan

Tulis lagi pertidaksamaan diatas..

6x - 2 > 4x + 2
  • Kumpulkan suku-suku yang sejenis
  • suku yang mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu
  • suku yang tidak mengandung variabel x dikumpulkan menjadi satu
Selanjutnya :
  • pindahkan 4x ke ruas kiri menjadi -4x
  • pindahkan -2 ke ruas kanan menjadi +2
6x - 4x > 2 + 2

2x > 4
  • Untuk mendapatkan nilai x, bagi 4 dengan 2
x > 4 : 2

x > 2



Menyelesaikan pertidaksamaan

Pada langkah diatas kita sudah mendapatkan nilai x > 2 ( dibaca x lebih dari dua). Berarti disini kita harus mencari nilai yang selalu lebih dari 2.

Terus mulai dari berapa?

Perhatikan lagi, x > 2
  • Pada tanda diatas, tidak ada garis dibawah tanda lebih dari (>), sehingga 2 tidak boleh dihitung. Kita mulai pada angka 3
  • Jika misalnya tandanya seperti ini, x ≥ 2, maka nilai x dimulai dari 2. Tanda garis dibawah (>) artinya sama dengan.
Nah, karena tidak ada tanda garis atau sama dengan, maka kita mulai menghitung nilai x dari 3.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 3, 4, 5, 6, 7, ..........

Tanda (........) titik-titik banyak itu maksudnya nilainya terus naik setelah 7 sampai ke angka yang tidak terhingga.

HP = {x| x = 3,4,5,6,7,.......}

Nilainya tidak terhingga atau banyak sekali..

Bagaimana, mudah kan?





Soal :

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 2 ≤ x + 4 adalah....


Cara pengerjaannya masih sama dengan soal pertama. Kita harus menuntaskan dulu pertidaksamaan diatas sebelum menentukan nilai x-nya.


Menyelesaikan pertidaksamaan

3x - 2 ≤ x + 4
  • Kumpulkan suku yang sejenis
Sehingga :
  • pindahkan x ke ruas kiri sehingga menjadi -x
  • pindahkan -2 ke ruas kanan sehingga menjadi +2

3x - x ≤ 4 + 2

2x ≤ 6
  • untuk mendapatkan x, bagi 6 dengan 2
x ≤ 3



Menentukan himpunan penyelesaian (HP)

Diatas sudah diperoleh nilai x, yaitu x ≤ 3.
Artinya apa?

Nilai x yang kita cari harus selalu kurang dari 3 dan  angka pertama yang ditulis adalah 3. Mengingat tandanya adalah garis atau sama dengan dibawah tanda (<).

Baca lagi penjelasan diatas ya!!

Ketika ada tanda garis atau sama dengan dibawah tanda suatu pertidaksamaan, maka angka tersebut harus dipakai.

Jadi himpunan penyelesaian dari x ≤ 3 adalah ......-1,0,1,2,3

Tanda titik-titik (........) menunjukkan kalau angkanya terus berkurang mengikuti pola yang ada. Ini untuk mempersingkat penulisan.

Batas atasnya adalah angka 3 dan nilainya bergerak turun, mengingat harus selalu kurang dari tiga. Jelas ya?

HP = {x|x = ......-1,0,1,2,3}


Baca juga :

Diketahui f(x) = 2x - 4. Jika f(a) = -2, Berapakah Nilai a?

✔ de eka sas Comment
Soal fungsi seperti ini, jika tidak dicermati dengan baik bisa membuat kita kelimpungan dan dituntun ke arah yang salah..

Inilah yang harus diperhatikan..


Nanti akan dijelaskan bagaimana cara mengerjakan soal seperti ini agar langsung berjumpa dengan jawaban yang benar.

Tidak ada kebingungan lagi..



Soal :

 1. Diketahui f(x) = 2x - 4. Jika f(a) = -2, berapakah nilai a?


Pertama kita harus memahami dulu arti dari f(a) = -2..

f(a) = -2 artinya :
  • jika "x" pada fungsi f(x) diganti dengan "a", maka hasilnya -2.
f(x) = 2x - 4
  • ganti semua "x" dengan "a"
f(a) = 2a - 4
  • Ingat bahwa f(a) = -2. 
  • Jadi kita ganti f(a) yang paling depan dengan -2
Sehingga :

-2 = 2a - 4

Sudah jelas sampai disini ya?
Inilah yang harus dipahami agar tidak keliru dalam mendapatkan hasilnya..

-2 = 2a - 4
  • sekarang kita pindahkan -4 ke ruas kiri menjadi +4
-2 + 4 = 2a

2 = 2a
  • untuk mendapatkan "a", bagi 2 dengan 2
a = 2 : 2

a = 1.

Nah, nilai "a" yang kita cari adalah 1.

Bagaimana, mudah bukan?

Kita coba satu soal lagi ya..





Soal :

 2. Diketahui f(x) = 3x + 1. Jika f(a) = 13, berapakah nilai a?


Caranya masih sama dengan soal pertama..

f(a) = 13, artinya..
  • jika setiap nilai "x" pada f(x) diganti dengan "a", maka hasilnya adalah 13.
Kita ganti "x" dengan "a"

f(x) = 3x + 1

f(a) = 3a+ 1
  • Ingat bahwa hasilnya adalah 13.
  • Jadi kita ganti f(a) dengan 13, yang paling depan
13 = 3a + 1
  • pindahkan +1 ke ruas kiri menjadi -1
13 - 1 = 3a

12 = 3a
  • bagi 12 dengan 3 untuk mendapatkan "a"
a = 12 : 3

a = 4

Jadi nilai a = 4.


Baca juga :

Jika diketahui "2x + 3 = 3x - 1", Berapakah Nilai Dari 3x + 4?

✔ de eka sas Comment
Untuk mendapatkan jawaban dari soal diatas, maka kita harus tahu dulu nilai dari variabel "x". Bagaimana mencarinya? Gunakan persamaan yang sudah diketahui..



Dengan melakukan perhitungan yang cermat, nilai dari "x" bisa diperoleh dan kita segera menemukan jawaban soalnya..

Ok, kita kerjakan!!

1. Diketahui nilai dari 2x + 3 = 3x - 1. Berapakah nilai dari 3x + 4?

Dalam soal diketahui sebuah persamaan, yaitu 2x + 3 = 3x - 1, dan inilah yang akan digunakan untuk menemukan nilai dari "x".

2x + 3 = 3x - 1

  • kumpulkan suku sejenis 2x sejenis dengan 3x (karena sama-sama ada variabel x)
  • 3 kumpulkan dengan -1 (karena tidak mengandung variabel)
  • pindahkan 3x ke ruas kiri sehingga tandanya menjadi -3x
  • pindahkan 3 ke ruas kanan sehingga tandanya menjadi -3
2x - 3x = -1 - 3
  • tanda dari 2x tetap plus karena tidak pindah tempat, begitu juga dengan -1
-x = -4
  • untuk mendapatkan nilai dari "x", bagi kedua ruas dengan -1.

-x/-1 = -4/-1

x = 4.

Jawaban terakhir

 Nilai x sudah diperoleh, sekarang saatnya untuk mencari jawaban terakhir dari nilai 3x + 4. Langsung saja masukkan nilai x-nya.

= 3x + 4

= 3 × 4 + 4

  • ingat, kerjakan yang perkalian dulu ya!!
= 12 + 4

= 16.

Jadi nilai dari 3x + 4 adalah 16.



2. Diketahui nilai dari 3 + 4x = 6x - 3. Berapakah nilai dari 7x - 8?

Cara yang digunakan sama dengan soal nomor satu diatas. Kita harus mencari nilai x dulu untuk kemudian dimasukkan ke persamaan yang ditanyakan.

Yang diketahui adalah 3 + 4x = 6x - 3, mari kita kerjakan.

3 + 4x = 6x - 3
  • kumpulkan 4x dan 6x, kemudian kumpulkan -3 dengan 3.
  • pindahkan 6x ke ruas kiri sehingga menjadi -6x
  • pindahkan 3 ke ruas kanan sehingga menjadi -3
4x - 6x = -3 - 3

-2x = -6
  • untuk mendapatkan nilai x, bagi kedua ruas dengan -2.

-2x/-2 = -6/-2

x = 3.

Nah, sekarang masukkan nilai x ke persamaan yang ditanyakan.

= 7x - 8

= 7 × 3 - 8

= 21 - 8

= 13.

Jadi nilai dari 7x - 8 adalah 13.


Mencari Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Titik Potong Sumbu X (-2,0) dan (1,0), Serta Melalui Titik (2,8)

✔ de eka sas Comment
Pada artikel sebelumnya, saya sudah membahas cara mencari persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik potong sumbu x dan melalui satu titik lainnya.

Silahkan baca di : Mencari Fungsi Kuadrat, Diketahui Titik Potong Sumbu X (3,0) dan (-1,0), Serta Melalui Titik (0, -3)




Dan sekarang, kita akan membahas soal yang mirip agar para pembaca semua menjadi lebih mengerti.

 Jika semakin banyak latihan, peluang untuk lebih mengerti persoalan tipe ini lebih besar lagi dan ke depannya tidak akan bingung.

 Cek soalnya!!

Contoh soal :

 1. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, yaitu (-2,0) dan (1,0). Fungsi ini juga melalui satu titik lainnya, yaitu (2,8).

 Bagaimanakah bentuk fungsi kuadrat ini?


Ok, mari kita kerjakan soalnya..


Analisa soal

Diketahui :
  • fungsi memotong sumbu x di dua titik (-2,0) dan (1,0)
  • melalui satu titik lainnya, yaitu (2,8)
Jadi rumus yang akan digunakan adalah rumus yang melalui dua titik potong pada sumbu x.

Satu titik lainnya, yaitu (2,8), nanti akan digunakan untuk membuat persamaannya lengkap. Jadi perhatikan caranya ya!!


Mencari jawaban

Rumus yang akan kita gunakan adalah sebagai berikut :

 f(x) = y = a(x - x1)(x - x2) 

 Ini adalah rumus mencari fungsi kuadrat jika diketahui titik potong pada sumbu x.


  • x₁ dan x₂ adalah titik yang memotong sumbu x.


 Mari perhatikan lagi..

  • Titik potong pertama di sumbu x adalah (-2,0), berarti x₁ = -2
  • Titik potong kedua di sumbu x adalah (1,0), berarti x₂ = 1
Nah, sudah mengerti cara menentukan x₁ dan x₂ ya?

Lanjut lagi..!!


Menghitung persamaan

Kita masukkan x₁ dan x₂ ke dalam rumus..

 y = a(x - x1)(x - x2) 

 y = a[x - (-2)] [x - 1]

  y = a[x + 2] [x - 1] .....(1)

 Ok, cukup dulu segitu..

Mencari nilai "a"


Sekarang kita gunakan titik yang satu lagi, yaitu (2,8).
x = 2
y = 8

Masukkan nilai x dan y ini ke persamaan (1), tulisan warna merah diatas..

y = a[x + 2] [x - 1]

 8 = a[2 + 2] [2 - 1]

8 = a (4) (1)

8 = a (4)

8 = 4a
  • Bagi kedua ruas dengan 4 untuk mendapatkan nilai "a"
8 = 4a
4     4

2 = a.



Melengkapkan fungsi dengan memasukkan nilai a


Kita pakai lagi persamaan (1), tulisan warna merah..

y = a[x + 2] [x - 1]

  • ganti nilai "a" dengan 2


 y = 2 [x + 2] [x - 1]

  • kalikan (x+2) dan (x-1)
y = 2 [ x(x-1) +2(x-1) ]

y = 2 [x² - x + 2x - 2]

y = 2 [x² +x -2]
  • buka kurung dengan mengalikan 2 ke semua suku di dalam kurung
y = 2.x² +2.x - 2.2

y = 2x² + 2x - 4.

Nah, inilah fungsi kuadrat yang dimaksud..

Coba lihat lagi contoh penyelesaian yang lain pada artikel berikut untuk semakin menambah wawasan dalam pengerjaan soal seperti ini.

Mencari Fungsi Kuadrat, Diketahui Titik Potong Sumbu X (3,0) dan (-1,0), Serta Melalui Titik (0, -3)

✔ de eka sas 5 Comments
Salah satu cara untuk mencari persamaan dari fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan titik potong fungsi tersebut pada sumbu x.

Selain dua titik potong pada sumbu x, diperlukan satu titik tambahan yang berguna untuk melengkapkan fungsinya.


Ok, mari kita lihat lagi soalnya..


Contoh soal :

 1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik yaitu (3,0) dan (-1,0). Grafik fungsi ini juga melalui titik (0,-3).

 Bagaimanakah persamaan fungsi kuadrat ini?


Mari kita kerjakan..


Analisa soal

Diketahui :
  • titik potong pada sumbu x
  • melalui titik (0, -3)
Rumus yang bisa digunakan untuk mencari fungsi kuadrat ini adalah rumus yang menggunakan dua titik potong di sumbu x.


Mencari jawaban

Rumus untuk fungsi kuadrat yang memotong dua titik disumbu x adalah

f(x) = y = a(x - x1)(x - x2)

Coba perhatikan!!

  • Titik potong pada sumbu x, terjadi pada titik (3,0) dan (-1,0).
Nilai 0 tidak digunakan, karena hanya "x" saja yang dipakai..

➜ x1  = 3
➜ x2  = -1

Sudah mengerti kan? 

Koordinat titik potong sumbu selalu (x,y). Pakai hanya nilai awal (x) pada titik potong di sumbu x-nya.

Sekarang kita masuk ke rumus persamaannya..

y = a(x - x1)(x - x2)


➜ Ganti x1  = 3 dan  x2  = -1

y = a(x - 3)(x - (-1))

y = a (x-3)(x+1) ........(1)

Nilai "a" belum ketemu!!

Inilah saatnya kita menggunakan titik yang lagi satu, yaitu (0,-3).

Titik (0,-3) bisa diartikan bahwa :
x = 0
y = -3.

Masukkan nilai x dan y ke persamaan (1), yang ada tulisan merah diatas..

y = a (x-3)(x+1)

-3 = a (0-3)(0+1)

-3 = a (-3)(1)

-3 = a (-3)

-3 = -3a

  • Untuk mendapatkan "a", bagi kedua ruas dengan (-3)

-3 = -3a
-3     -3

1 = a

Jadi nilai a = 1.

Persamaan utuhnya 

Sekarang kita masukkan "a" ke persamaan (1)

y = a (x-3)(x+1)

y = 1. (x-3)(x+1)
  • Karena dikali 1, maka persamaannya menjadi seperti dibawah
y = (x-3)(x+1)
  • Sekarang tinggal buka kurung keduanya dengan mengalikan masing-masing faktor.
y = x(x+1) -3 (x+1)

y = x² + x -3x - 3

y = x² - 2x - 3.

Inilah persamaan fungsi kuadrat yang kita cari.. 

Catatan!!
Untuk  grafik yang diketahui dua titik potongnya pada sumbu x, maka rumusnya seperti diatas ya!!

Selamat mencoba..



Baca juga :

#1 Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

✔ de eka sas Comment

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir mirip dengan persamaan kuadrat.

Namun..
Ada satu langkah tambahan sebelum kita berhasil menemukan penyelesaiannya.

Tertarik?

Ayo kita coba soal berikut ini..


Contoh soal :

 1. Carilah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini : x2 + x - 6 < 0 !!


Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan, mari kita lihat satu per satu dibawah ini...

Langkah 1 => Memfaktorkan
Pertidaksamaan tersebut bisa kita anggap dulu sebagai persamaan.

Mengapa?

Karena untuk memudahkan kita dalam memfaktorkan saja!!
Nanti hasilnya dalam bentuk pertidaksamaan juga kok..

x2 + x - 6 = 0 , difaktorkan menjadi (x +3)(x-2) = 0

Langkah 2 => Mencari pembuat nol
Pembuat nol dari persamaan diatas bisa dicari dengan menggunakan cara ini..

Pertama kita gunakan :

x + 3 = 0
x = -3

Kedua kita gunakan :

x - 2 = 0
x = 2

Jadi, pembuat nolnya sudah kita peroleh, yaitu -3 dan 2.


Langkah 3 => Menggunakan garis bilangan
Nah...
Inilah langkah tambahan yang saya maksud ketika akan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Kalau hanya persamaan kuadrat saja, maka penyelesaian sudah berakhir pada langkah 2..


Pembuat nol dari persamaan x2 + x - 6 = 0, bisa dibuat dalam garis bilangan diatas..
  • Angka 0 kita gunakan karena akan sangat berguna nantinya, 
  • Angka -3 letaknya disebelah kiri dari 0 
  • Angka 2 letaknya disebelah kanan dari 0.
Ok..
Sudah jelas ya!!



Langkah 4 => Menyelesaikan pertidaksamaan

Yapp..

Inilah langkah terakhirnya..
Kita akan menggunakan bantuan dari 0 untuk menemukan penyelesaiannya.

Bantuan nol (0)

Sekarang kita masukkan 0 ke pertidaksamaan yang dicari penyelesaiannya..

x2 + x - 6 < 0

Pertidaksamaan itu maksudnya adalah setiap nilai x yang dimasukkan akan membuatnya selalu kurang dari 0.

Sekarang kita coba ganti "x"nya dengan 0.

02 + 0 - 6 < 0

 -6 < 0. (Ini benar. Karena -6 adalah kurang dari 0)

 Jadi, nilai x yang ada 0, adalah bernilai benar..

 Jadi penyelesaian pertidaksamaan ini bisa ditulis dalam garis bilangan..
  • Penyelesaiannya bergerak dari -3 ke arah kanan, karena akan menemui 0
  • Penyelesaiannya bergerak dari 2 ke arah kiri, karena akan menemui 0.
Mengapa harus menemui 0?

Karena ketika "x" dimasukkan ke dalam pertidaksamaan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar.

Sehingga hasilnya seperti gambar dibawah ini..

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada diantara -3 sampai dengan kurang dari 2.

 Penyelesaian :    -3 < x < 2.
Inilah penyelesaian yang dimaksud..

Pembuktian lain

Agar lebih yakin, kita coba angka 3. Angka ini terletak disebelah kanan dari 2, yang mana artinya adalah lebih dari 2.

Mari masukkan ketidakpersamaannya :

x2 + x - 6 < 0
32 + 3 - 6 < 0
9 + 3 - 6 < 0
6 < 0 (Bernilai salah. Karena 6 seharusnya lebih besar dari 0)

Jadi, setiap nilai x yang lebih besar dari 2 akan menghasilkan pernyataan yang salah. Begitu juga jika nilai x-nya kurang dari -3, akan bernilai salah..

Coba deh coba masukkan nilai x = -4..
Bernilai salah kan??

Subscribe to: Posts (Atom)