Showing posts with label Lingkaran. Show all posts
Showing posts with label Lingkaran. Show all posts

Mencari Luas Lingkaran Jika Diketahui Kelilingnya (Dengan π = 3,14)

Sebelumnya sudah dibahas bagaimana mencari keliling lingkaran dari luas yang sudah diketahui tapi dengan jari-jarinya yang kelipatan dari 7.

Atau phi yang digunakan (π) = ²²∕₇



Silahkan baca di : #2 Soal Mencari Luas Lingkaran Jika Diketahui Kelilingnya





Soal :

1. Sebuah lingkaran memiliki luas 78,5 cm². Berapakah keliling lingkaran tersebut?
π = 3,14


Ok..
Data yang diketahui pada soal adalah :

  • Luas = 78,5 cm²
  • π = 3,14



Mencari jari-jari (r) dengan menggunakan luas yang diketahui


Karena luas yang diketahui, maka kita akan menggunakan rumus luas untuk menemukan jari-jarinya lebih dulu.

Luas = π×r²

  • luas = 78,5
  • π = 3,14

78,5 = 3,14×r²
  • Untuk mendapatkan r², bagi 78,5 dengan 3,14
  • ubah kedua bentuk desimal menjadi pecahan 

r² = 78,5 : 3,14

r² = ⁷⁸⁵∕₁₀ : ³¹⁴∕₁₀₀

  • ketika dibagi oleh pecahan, maka pecahan pembagi ini (pecahan yang ada dibelakang tanda bagi) dibalik posisinya 
  • kemudian tanda bagi diubah menjadi perkalian

r² = ⁷⁸⁵∕₁₀× ¹⁰⁰∕₃₁₄

r² = ⁷⁸⁵⁰⁰∕₃₁₄₀

r² = 25
  • untuk mendapatkan r, akarkan 25

r = √25

r = 5


Kita sudah memperoleh jari-jari dari lingkaran tersebut adalah 5 cm.




Mencari keliling


Jari-jari (r) sudah diketahui dan sekarang kita bisa dengan mudah mendapatkan berapa besar keliling lingkaran tersebut.

Keliling (K) = 2×π×r

  • π = 3,14
  • r = 5
Keliling (K) = 2×3,14×5

K = 31,4 cm.


Jadi keliling lingkaran tersebut adalah 31,4 cm.





Soal :

2. Luas sebuah lingkaran adalah 200,96 cm². Hitunglah kelilingnya?
π = 3,14


Diketahui pada soal :

  • Luas = 200,96 cm²
  • π = 3,14



Mencari jari-jari (r) dengan menggunakan luas yang diketahui


Kita cari jari-jarinya menggunakan rumus luas lingkaran.

Luas = π×r²

  • luas = 200,96
  • π = 3,14

200,96 = 3,14×r²
  • Untuk mendapatkan r², bagi 200,96 dengan 3,14

r² = 200,96 : 3,14

  • jadikan bentuk pecahan kedua bilangan desimal diatas


r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₁₀₀ : ³¹⁴∕₁₀₀

  • ketika dibagi pecahan, maka pecahan dibelakang tanda bagi dibalik posisinya dan tanda bagi berubah menjadi perkalian

r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₁₀₀ × ¹⁰⁰∕₃₁₄
  • 100 yang ada pada 20096 bisa dicoret dengan 100 yang ada pada 314 (karena posisinya diatas dan dibawah, ini sama artinya dengan pembagian)

r² = ²⁰⁰⁹⁶∕₃₁₄

r² = 64
  • untuk mendapatkan r, akarkan 64

r = √64

r = 8


Jari-jari (r) lingkaran diatas adalah 8 cm



Mencari keliling


Keliling (K) = 2×π×r

  • π = 3,14
  • r = 8

Keliling (K) = 2×3,14×8

K = 50,24 cm.


Jadi keliling lingkaran tersebut adalah 50,24 cm.




Baca juga ya :

Sebuah Juring Memiliki Panjang Busur 22 cm. Jika Jari-jari Lingkaran 21 cm, Berapa Sudut Juring Tersebut?

Karena yang diketahui panjang busur, maka kita gunakan rumus panjang busur lingkaran untuk menemukan sudut juringnya.



Soal :

1. Sebuah juring memiliki panjang busur 22 cm. Jika jari-jari lingkaran 21 cm, berapakah sudut juring tersebut?


Kita cek data yang diketahui pada soal :

  • panjang busur (P) = 22 cm
  • jari-jari (r) = 21 cm
  • karena jari-jari kelipatan dari 7, maka π = ²²∕₇


Rumus yang digunakan adalah :


  • x = sudut juring


Masukkan semua data..

  • Sederhanakan, bagi 21 dengan 7, menghasilkan 3


  • di ruas kiri dan ruas kanan ada angka 22. Karena bentuknya perkalian, maka 22 bisa dicoret pada ruas kiri dan kanan, sehingga menghasilkan 1.
  • kalikan semua yang ada pada ruas kanan.


  • sederhanakan antara 6 dan 360
  • kalikan silang antara 60 dan 1
  • sedangkan x tetap, karena tidak ada kawan untuk perkalian silang



Sehingga kita bisa menemukan bahwa nilai dari sudut juring tersebut (x) = 60⁰




Soal :

2. Sebuah lingkaran mempunya diameter 21 cm dan panjang busur 33 cm. Berapakah sudut juring pada lingkaran tersebut?


Data pada soal :
  • panjang busur (P) = 33 cm
  • diameter (d) = 21 cm
  • karena diameter kelipatan dari 7, maka π = ²²∕₇


Rumus yang digunakan adalah :

Rumus ini sama saja dengan rumus diatas, pada soal pertama..
  • Diameter (d) = 2r


Masukkan semua data..


  • 21 bisa dibagi dengan 7, hasilnya 3
  • selanjutnya, 33 bisa dibagi dengan 3 yang ada di ruas kanan, sehingga hasilnya 11

  • 22 dan 11 juga bisa dibagi, sehingga hasilnya 2
  • 2 dan 360 disederhanakan, 360 menjadi 180
  • sekarang kalikan silang antara 180 dan 1, sedangkan x tetap karena tidak ada kawan untuk perkalian silang


Jadi, sudut juring yang dimaksud adalah 180⁰.

Baca juga :

Sebuah Juring Lingkaran Sudutnya 300 dan Jari-jarinya 10 cm, Berapa Panjang Busur dan Luas Juringnya?

Juring dalam sebuah lingkaran adalah potongan lingkaran yang melalui titik pusatnya dan memiliki sudut tertentu.

Contoh paling mudah adalah sebuah potongan pizza. Itulah bentuk juring lingkaran.



Dan sekarang kita akan mencoba contoh soal yang berkaitan dengan permasalahan ini.


Soal :

1. Sebuah juring lingkaran sudutnya 30⁰ dan jari-jarinya 10 cm. Berapakah panjang busur dan luas juring tersebut??


Mari lihat gambar dibawah ini..


Keterangan :

  • Garis lengkung AB disebut dengan panjang busur
  • Daerah yang dibatasi oleh OAB itulah yang disebut juring.



Mencari panjang busur AB


Untuk mendapatkan panjang busur AB, rumus yang digunakan sebagai berikut.


Keliling lingkaran = 2πr

Masukkan data yang diketahui :

  • ∠juring = 30⁰
  • keliling lingkaran = 2πr
  • r = 10 cm



Langkah-langkahnya :
  • Sederhanakan 30 dan 360, sehingga menjadi 1 per 12.
  • Kalikan semuanya dan diperoleh AB = 5,2 cm

Jadi panjang busur AB adalah 5,2 cm.





Mencari luas juring AOB


Rumus yang digunakan adalah :

Data yang diketahui :
  • ∠juring = 30⁰
  • luas lingkaran = πr²
  • r = 10 cm

Sehingga :


Diperoleh luas juring AOB = 26,16 cm²



Soal :

2. Sebuah juring lingkaran sudutnya 180⁰ dan jari-jarinya 7 cm. Berapakah panjang busur dan luas juring tersebut??


Caranya masih sama dengan soal pertama..



Mencari panjang busur


Diketahui :

  • ∠juring = 180⁰
  • keliling lingkaran = 2πr
  • r = 7 cm
  • π = ²²∕₇ (karena jari-jari kelipatan dari 7)


  • Sederhanakan 180 dan 360, sehingga diperoleh 1 per 2

Dan kitapun mendapatkan panjang busur AB = 22 cm.




Mencari luas juring


Diketahui :

  • ∠juring = 180⁰
  • luas lingkaran = πr²
  • r = 7 cm
  • π = ²²∕₇ (karena jari-jari kelipatan dari 7)



Jadi luas juringnya = 77 cm²



Baca juga :

Mencari Luas Lingkaran Jika Diameternya 7 cm atau 21 cm

Jika jari-jarinya 7 cm atau 21 cm, pastinya sangat mudah mengerjakannya karena nilai phi (π) yang digunakan 22/7.

Ada angka yang bisa dicoret.


Tapi bagaimana jika diameternya 7 cm atau 21 cm?

Itulah yang akan kita kerjakan sekarang dan dengan menggunakan pengubahan sedikit, hasilnya bisa dicari dengan cepat juga.


Soal :


1. Berapakah luas lingkaran jika diameternya 7 cm?


Ketika diketahui diameter, kita pasti mencari jari-jarinya untuk bisa mendapatkan luas. Mengingat luas lingkaran :

Luas = πr²

Sehingga:

r = d/2

r = 7/2

r = 3,5

Setelah ketemu r, maka π yang dipilih pastinya 3,14. Karena jari-jarinya bukan kelipatan dari 7. Betul kan?

Setelah itu dicari luasnya..

Luas = πr²

Luas = 3,14 × 3,5 × 3,5

Luas = 38,465 cm²


Kalau pakai kalkulator sih enak, tapi jika menghitungnya manual, perlu usaha yang agak lama untuk menemukan hasilnya.


Alternatif lain

Ada alternatif lain yang bisa dicoba, dimana kita tidak perlu membagi diameternya sehingga tidak bertemu dengan jari-jari yang berbentuk desimal.

Gunakan rumus luas berikut :

Luas = ¼πd²

  • d = diameter lingkaran = 7 cm

Luas = ¼πd²



  • 22 dan 4 sama-sama bisa dibagi 2, sehingga hasilnya 11 dan 2
  • 7 bisa dibagi dengan 7, sehingga hasilnya 1.
Kemudian :
  • Kita bagi 7 dengan 2, sehingga hasilnya 3,5.
  • Kalikan 11 dengan 3,5 sehingga hasilnya 38,5.

Jadi, dengan menggunakan cara ini, kita tidak perlu mengalikan bilangan desimal terlalu banyak dan prosesnya jauh lebih cepat karena banyak angka yang bisa dicoret atau dibagi.




Soal :


2. Berapakah luas lingkaran jika diameternya 21 cm?


Caranya sama, langsung pakai rumus yang terakhir..

Luas = ¼πd²


  • d = 21 cm


Luasnya diperoleh 346,5 cm²


Kesimpulan

Jika bertemu dengan diameter kelipatan 7 tapi jika dibagi 2 hasilnya desimal, bisa menggunakan cara ini. 

Rumus luas = ¼πd²

Contoh diameternya antara lain 7, 21, 35, 49, 63 dan seterusnya..

Menggunakan rumus diatas, mencegah kita bertemu dengan deretan bilangan desimal banyak yang membuat perhitungan lebih ruwet..



Baca juga :

Mencari Jari-jari Lingkaran Kecil Jika Diketahui Panjang Garis Singgung Lingkaran Luar dan Jarak Antara Dua Titik Pusat

Dengan mengubah sedikit rumus dari persamaan garis singgung luar dari dua buah lingkaran, kita bisa mencari jari-jari yang belum diketahui.


Ok, kita kerjakan contoh soalnya biar lebih mengerti ya..





Soal :

1. Panjang garis singgung persekutuan luar dari dua buah lingkaran adalah 16 cm. Jika jarak antara dua titik pusatnya 20 cm dan panjang jari-jari lingkaran yang besar 8 cm, berapa jari-jari lingkaran yang satunya?




Dalam soal diketahui :

  • Panjang garis singgung luar (SL = singgung luar) = 16 cm
  • Jarak dua titik pusat ( TP = titik pusat) = 20 cm
  • Jari-jari lingkaran besar (R) = 8 cm

Rumus yang digunakan untuk garis singgung persekutuan luar adalah sebagai berikut :

TP² = GSL² + (R-r)²
  • TP = Titik pusat = jarak dua titik pusat = 20 cm
  • GSL = garis singgung luar = panjang garis singgung luarnya = 16 cm
  • R = jari-jari lingkaran besar = 15 cm
  • r = jari-jari lingkaran kecil
Untuk (R-r) kita biarkan dulu, jangan diganti angkanya..




Proses perhitungan


Langsung masuk ke rumusnya..

TP² = GSL² + (R-r)²

20² = 16² + (R-r)²

400 = 256 + (R-r)²

  • pindahkan 256 ke ruas kiri sehingga menjadi -256
400 - 256 = (R-r)²

144 = (R-r)²

  • Untuk menghilangkan kuadrat pada (R-r), maka 144 harus diakarkan

√144 = R-r

12 = R - r 




Mencari jari-jari yang satu lagi


Pada soal sudah diketahui bahwa jari-jari lingkaran yang besar 15 cm. Berarti ganti R dengan 15 untuk mendapatkan "r".

12 = R - r

12 = 15 - r

  • pindahkan -r ke ruas kiri menjadi +r
  • pindahkan 12 ke ruas kanan menjadi -12
r = 15 - 12

r = 3 cm.


Jadi, jari-jari lingkaran yang satu lagi adalah 3 cm..




TIPS!!
Untuk garis singgung persekutuan luar, maka kedua jari-jarinya dikurangkan. Yaitu jari-jari lingkaran besar di kurang jari-jari lingkaran kecil.









Soal :

2. Panjang garis singgung persekutuan luar dari dua buah lingkaran adalah 12 cm. Jika jarak antara dua titik pusatnya 13 cm dan panjang salah satu jari-jarinya 8cm, berapa panjang jari-jari yang lain?




Ini soalnya agak berbeda, karena jari-jari yang diketahui tidak jelas apakah itu jari-jari yang besar atau jari-jari yang kecil.

Itu tidak masalah..

Kita kerjakan sama seperti soal diatas dulu..


Tips!!
Jangan masukkan nilai jari-jarinya ke dalam R atau r dulu.. Kita hitung seperti biasa..




TP² = GSL² + (R-r)²
  • TP = Titik pusat = jarak dua titik pusat = 13 cm
  • GSL = garis singgung luar = panjang garis singgung luarnya = 12 cm
  • Nilai salah satu jari-jari 8cm

Kita akan mencari nilai (R-r).. 




Proses perhitungan


Masukkan panjang garis singgung dan jarak dua titik pusatnya.

TP² = GSL² + (R-r)²

13² = 12² + (R-r)²

169 = 144 + (R-r)²

  • pindahkan 144 ke ruas kiri sehingga menjadi -144

169 - 144 = (R-r)²

25 = (R-r)²

  • Untuk menghilangkan kuadrat pada (R-r), akarkan 25

√25 = R-r

5 = R - r 




Mencari jari-jari yang satu lagi


Nah, untuk mendapatkan jari-jari yang lain, kita bisa melakukan langkah coba-coba. Maksudnya gimana?

Lihat dibawah ini..

Dari hasil perhitungan diatas, diperoleh bahwa :

R - r = 5

Pada soal diketahui :

  • ada satu jari-jari yang nilainya 8 cm.


Kita coba gunakan 8cm sebagai "r"

R -r = 5 
  • ganti r = 8
R - 8 = 5
  • pindahkan -8 ke ruas kanan sehingga menjadi +8
R = 5 + 8

R = 13 cm..



Kita coba gunakan 8cm sebagai "R"


Sekarang kita ganti R = 8 cm

R - r = 5 
  • ganti R = 8
8 - r = 5
  • pindahkan -r ke ruas kanan menjadi +r
  • 5 pindah ke ruas kiri menjadi -5
8 - 5 = r

3 = r


Jadi diperoleh dua kemungkinan :
  • Jika r = 8 cm, maka R = 13 cm
  • Jika R = 8 cm, maka r = 3 cm.

Selamat mencoba ya..


Baca juga :

Mencari Panjang Tali Untuk Mengikat Tiga dan Empat Pipa

Panjang tali yang digunakan untuk mengikat tiga atau empat pipa menggunakan rumus yang berkaitan dengan keliling lingkaran.

Karena pipa itu sendiri berbentuk lingkaran pada penampangnya.


Sekarang kita coba contoh soal.





Soal :

1. Tiga buah pipa dengan jari-jari yang sama yaitu 7 cm. Berapakah panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat ketiganya?




Gambar tiga buah pipa yang diikat seperti dibawah ini..



Untuk mendapatkan panjang tali, rumus yang digunakan sangatlah sederhana..

Panjang tali = (n × d) + 1 keliling lingkaran

  • n = banyaknya diameter
  • d = panjang diameter lingkaran




Mencari banyak diameter


Pada gambar diatas, kita lihat titik pusatnya. Dengan melihat titik pusat, kita bisa mengetahui seberapa banyak ada diameter lingkaran yang terhubung.

Titik pusat lingkaran, terhubung dari :

  • A ke B
  • B ke C, dan 
  • C ke A.
Jadi dalam gambar tersebut, ada tiga buah diameter yang terhubung, sehingga diperoleh nilai :
  • n = 3.



Mencari keliling lingkaran


Keliling lingkaran = 2π.r

  • r = 7 cm
Keliling lingkaran = 2 × ²²/₇ × 7

Keliling lingkaran = 44 cm.




Mencari panjang tali


Kita gunakan rumus diatas..

Panjang tali = (n × d) + 1 keliling lingkaran

  • n = 3
  • d = 2r = 2×7 = 14 cm
  • keliling lingkaran = 44 cm

Panjang tali = (3 × 14) + 44

Panjang tali = 42 + 44

Panjang tali = 86 cm.



Jadi panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah pipa adalah 86 cm.



Tips!!
Jarak antara dua titik pusat sama dengan diameter lingkaran





Soal :

2. Empat buah pipa dengan jari-jari yang sama yaitu 7 cm. Berapakah panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat ketiganya?




Sekarang kita akan mengikat empat buah pipa dan rumus yang digunakan masih sama. Tapi lihat dulu gambarnya..



Rumusnya masih sama, yaitu :

Panjang tali = (n × d) + 1 keliling lingkaran
  • n = banyaknya diameter
  • d = panjang diameter lingkaran




Mencari banyak diameter


Kita lihat titik pusatnya dulu dan dimulai dari A.

Titik pusat lingkaran, terhubung dari :
  • A ke B
  • B ke C, 
  • C ke D, dan 
  • D ke A
Jadi dalam gambar tersebut ada empat diameter yang terhubung. Sehingga :
  • n = 4.



Mencari keliling lingkaran


Keliling lingkaran = 2π.r

  • r = 7 cm
Keliling lingkaran = 2 × ²²/₇ × 7

Keliling lingkaran = 44 cm.




Mencari panjang tali


Kita gunakan rumus diatas..

Panjang tali = (n × d) + 1 keliling lingkaran

  • n = 4
  • d = 2r = 2×7 = 14 cm
  • keliling lingkaran = 44 cm

Panjang tali = (4 × 14) + 44

Panjang tali = 56 + 44

Panjang tali = 100 cm.


Jadi, untuk mengikat empat buah pipa kita akan memerlukan tali yang panjangnya 100 cm.


Baca juga :

Mencari Panjang Busur dan Luas Sebuah Juring Lingkaran

Panjang busur dan juring sebuah lingkaran merupakan satu kesatuan yang saling berhubungan. Mereka sama-sama dipengaruhi oleh besar sudut yang terbentuk. 



Semakin besar sebuah sudut, maka semakin panjang sebuah busur dan semakin luas sebuah juring.

Nah, mari perhatikan gambar dibawah ini ya..


Penjelasan singkat mengenai gambar diatas :

  • Garis merah AB adalah busur lingkaran
  • θ adalah besar sudut juring
  • OA dan OB adalah jari-jari lingkaran
  • Daerah warna biru adalah luas juring, yaitu daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur lingkaran.
Ok, sudah jelas ya? Sekarang kita lanjut ke rumusnya..



Itulah rumus yang nanti akan digunakan dalam mencari panjang busur, luas juring dan lainnya..

Contoh soal

Ok...
Mari kita coba contoh soalnya.

Contoh soal :

1. Sebuah juring memiliki sudut 90º dan jari-jarinya 7 cm. Berapakah panjang busur dan luas juringnya?


Diketahui :

  • θ = 90º
  • r = jari-jari = 7 cm.
Untuk mendapatkan panjang busur dan luas juring kita harus mencari keliling dan luas lingkaran.

Karena jari-jari 7 cm dan merupakan kelipatan dari 7, maka π = ²²/₇

Keliling lingkaran = 2πr
Keliling lingkaran = 2 × ²²/₇ × 7
Keliling lingkaran = 44 cm

Luas lingkaran = πr²
Luas lingkaran = ²²/₇ × 7²
Luas lingkaran = 154 cm²



Panjang busur


Rumus yang kita gunakan adalah yang ada sudut dan panjang busurnya.

















Untuk yang luas juring dan luas lingkaran, rumusnya tidak dipakai dulu. Karena diketahui sudut dan dicari panjang busurnya saja.

  • 90 dan 360 disederhanakan sehingga menjadi 1 banding 4
  • Kalikan silang antara 1 dan 44, kemudian kalikan silang panjang busur dengan 4
  • Untuk mendapatkan panjang busur, maka 44 harus dibagi dengan 4.
  • Diperoleh bahwa panjang busurnya adalah 11 cm.



Luas juring


Perhatikan penyelesaian dibawah ini..

















Rumus yang dipakai adalah rumus yang ada sudut dan luas juring, karena yang diketahui besar sudut dan dicari luas juring. Untuk yang panjang busur tidak dipakai.
  • 90 dan 360 disederhanakan menjadi 1 banding 4
  • kalikan silang 1 dan 154, kemudian kalikan silang luas juring dengan 4
  • Untuk mendapatkan luas juring, 154 dibagi dengan 4
  • Diperoleh luas juring = 38,5 cm²

Bagaimana, sudah paham ya?



Contoh soal :

2. Sebuah juring memiliki sudut 60º dan diameter lingkaran 20 cm. Berapakah panjang busur dan luas juringnya?


Diketahui :

  • θ = 90º
  • diameter = 20 cm
  • r = diameter ÷ 2
    = 20 ÷ 2
    = 10 cm.
Kita cari dulu keliling dan luas lingkaran. Karena jari-jari bukan kelipatan dari 7, maka nilai π = 3,14.

Keliling lingkaran = 2πr
Keliling lingkaran = 2 × 3,14 × 10
Keliling lingkaran = 62,8 cm

Luas lingkaran = πr²
Luas lingkaran = 3,14 × 10²
Luas lingkaran = 314 cm²



Panjang busur




















Luas Juring

















Selesai..

Baca juga ya :