Showing posts with label Deret. Show all posts
Showing posts with label Deret. Show all posts

Diantara 1 dan 16 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk deret geometri. Suku ke-6 adalah..

Karena membentuk geometri, berarti kita harus mencari rasionya sehingga bisa menemukan suku yang ditanyakan.

Yaitu suku ke-6..



Soal :

1. Diantara 1 dan 16 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk deret geometri. Suku ke-6 dari deret geometri itu adalah...


Mari perhatikan lagi soalnya..

Pertama adalah 1 dan 16.
Kemudian diantaranya 1 dan 16 dimasukkan tiga bilangan, misalkan bilangan itu adalah p,q dan r.

Sehingga deretnya menjadi..

1, p, q, r, 16.

Kemudian :

  • Suku awal (a) = 1
  • suku kedua = p
  • suku ketiga = q
  • suku keempat = r
  • suku kelima = 16

Jelas ya sampai disana..



Mencari rasio (r)


Menggunakan data diatas, kita bisa mendapatkan rasionya.

Untuk geometri, rumus yang dipakai seperti ini..

Un = a.rn-1


  • Un = suku ke-n
  • a = suku awal
  • r = rasio

Diatas kita mendapatkan data :
  • a = 1
  • U₅ = suku ke-5 = 16

Kita tidak gunakan p, q, r dalam perhitungan karena nilainya tidak diketahui. Yang digunakan hanyalah yang sudah diketahui bilangannya.


Un = a.rn-1 

16 = 1.r5-1 

  • Karena diketahui U₅, maka n diganti dengan 5.

16 = 1.r⁴

16 = r⁴

  • untuk mendapatkan r, 16 harus diakar 4





Mencari suku ke-6


Yap..
Rasio sudah diperoleh dan sekarang kita bisa dengan mudah menemukan suku ke-6


Un = a.rn-1

U₆ = a.r6-1


  • Karena ditanyakan U₆, maka n diganti dengan 6


U₆ = a.r⁵

  • a = 1
  • r = 2

U₆ = 1.2⁵

  • Selesaikan dulu 2⁵, hasilnya 32


U₆ = 1.32
  • 1.32 artinya 1 dikali dengan 32

U₆ = 32.


Jadi, suku ke-6 adalah 32.



Alternatif mencari suku ke-6


Rasionya sudah ditemukan, yaitu 2.

Artinya untuk mendapatkan suku selanjutnya  adalah mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Begitu seterusnya..

Diatas kita sudah tahu bahwa :

  • Suku ke-5 = 16.

Untuk mendapatkan suku ke-6, kita tinggal kalikan saja suku ke-5 dengan rasionya.
Langsung diperoleh..

U₆ =  U₅×r


  • U₅ = 16
  • r = 2

U₆ =  16×2

U₆ =  32


Hasilnya sama jika menggunakan rumus seperti cara diatas..


Baca juga :

Ada 4 bakteri membelah menjadi 3 setiap 30 menit, dan jumlahnya menjadi 972. Jika ada bakteri B berjumlah 5 dan membelah dua setiap jam, berapa jumlah bakteri B dalam waktu yang sama?

Ok..
Ini adalah variasi soal tentang deret, dan deret yang digunakan adalah deret geometri..



Soal :

1. Bakteri A ada 4 pada awalnya dan membelah menjadi 3 setiap 30 menit. Setelah beberapa kali membelah, jumlahnya menjadi 972. Kemudian, ada bakteri B yang awalnya ada 5 dan membelah menjadi dua setiap jam. Berapakah jumlah bakteri B dalam waktu yang sama dengan pembelahan bakteri A?


Kita tuntaskan dulu perhitungan bakteri A. Yang dicari adalah berapa kali pembelahan yang dilakukannya.

Sehingga waktunya bisa diketahui.



Mencari banyak pembelahan bakteri A


Data yang diketahui :

  • Jumlah awal = suku awal (a) = 4
  • Rasio (r) = 3 (membelah menjadi 3 setiap 30 menit)
    Untuk yang 30 menit dipakai nanti
  • Suku akhir (Un) = 972

Rumus yang digunakan adalah :

Un = a.rn-1

Un = a.rn-1

972 = 4.3n-1


  • 972 dibagi dengan 4

972 ፥ 4 = 3n-1


243 = 3n-1


  • 243 diubah menjadi bentuk pangkat dengan bilangan dasarnya 3
  • Agar sama dengan di ruas kanan.
  • 243 = 3 pangkat 5

3⁵ = 3n-1


  • Karena bilangan dasarnya sudah sama, yaitu sama-sama 3, berarti bilangan pangkatnya juga harus sama.
  • angka 3 boleh tidak ditulis lagi
  • Sehingga 5 = n - 1


5 = n-1

  • pindahkan -1 ke ruas kiri dan tandanya berubah menjadi +1

5 + 1 = n

6 = n





Mencari waktu pembelahan


Banyak pembelahan sudah diketahui, yaitu n = 6. Sekarang kita bisa mencari berapa waktu yang diperlukan bakteri A untuk membelah.

Ingat!!
Sekali membelah, bakteri A memerlukan waktu 30 menit.

Jika 6 kali membelah, berarti waktu yang diperlukan adalah..

Waktu membelah = 6 × 30 menit

= 180 menit.

Atau 180 menit = 3 jam.




Mencari banyak banyak bakteri B


Di soal dikatakan jika bakteri B membelah dalam waktu yang sama dengan bakteri A. Sehingga bakteri B membelah selama 3 jam.

Data yang diketahui :

  • Jumlah awal (a) = 5
  • Rasio = 2 (membelah menjadi 2 setiap jam)
  • Waktu pembelahan = 3 jam



Kita bisa mencari berapa kali pembelahan yang dilakukan oleh bakteri B.

  • Waktu pembelahan 3 jam
  • Bakteri B membelah setiap jam

Jadi, banyak pembelahan (n) yang dilakukan oleh bakteri B adalah 3 jam dibagi 1 jam

n = 3 jam ፥ 1 jam
  • 1 jam diperoleh dari membelah setiap jam
  • Setiap jam = 1 jam

n = 3

Perhatikan disini!!
Ketika membelah sebanyak 3 kali, maka yang dicari adalah U4.
Jangan mencari U3 ya!!

Mengapa??
Suku awal = bakteri B pada saat awal = 5 (Ini sama dengan suku pertama)
Suku kedua = pembelahan bakteri pertama
Suku ketiga = pembelahan bakteri kedua
Suku keempat = pembelahan bakteri ketiga.

Jelas ya!!



Sekarang kita bisa mencari banyak bakteri B setelah 3 jam.
Rumus yang digunakan masih sama..

Un = a.rn-1

U₄ = 5.24-1

U₄ = 5.23

U₄ = 5.8

U₄ = 40


Jadi, banyaknya bakteri B setelah 3 jam adalah 40.


Baca juga :

Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, .... adalah..

Jika diketahui deret dari suatu bilangan, kita bisa menghitung rumus suku ke-n berdasarkan rumus umum yang sudah dipelajari.

Tapi harus ditentukan dulu deretnya apakah aritmetika atau geometri.



Soal :

1. Rumus suku ke-n dari deret 2, 5, 8, 11, ... adalah...


Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 5
U3 = 8
U4 = 11

Kita coba cari bedanya dulu, kalau bedanya sama berarti aritmetika.

beda (b) = U2 - U1
b = 5 - 2
b = 3

Sekarang cek beda dari suku ketiga dan kedua

b = U3 - U2
b = 8 - 5
b = 3

Ternyata bedanya sama, maka deret diatas adalah deret aritmetika.



Menentukan suku awal dan beda


Deretnya adalah 2, 5, 8, 11, ...

Suku awal (a) dari deret itu adalah 2
Jadi a = 2.

Sedangkan bedanya (b) sudah dihitung diatas, yaitu b = 3



Menentukan rumus Un


Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a + (n-1)b

Sekarang masukkan a dan b ke dalam rumus.
  • a = 2
  • b = 3

Un = a + (n-1)b
Un = 2 + (n-1)3
  • Untuk membuka kurung (n-1)3, caranya adalah dengan mengalikan 3 dengan n = 3n
  • kemudian kalikan 3 dengan -1 = -3
  • Semua yang didalam kurung harus dikalikan dengan yang diluar kurung

Un = 2 + 3n - 3
Un = 3n + 2 - 3
Un = 3n - 1

Jadi, rumus suku ke-n dari deret diatas adalah Un = 3n - 1.


Soal :

2. Diketahui deret 2, 4, 8, 16,...
Rumus suku ke-n adalah...


Tentukan dulu deret diatas, aritmetika atau geometri.

U1 = 2
U2 = 4
U3 = 8
U4 = 16

Deret diatas, jika dicari bedanya, tidak sama antara U2 - U1 dengan U3 - U2. Jadi, kita coba pakai deret geometri, yaitu dicari rasionya.


Rasio (r) dicari dengan membagi dua suku berdekatan.

r = U2 : U1
r = 4 : 2
r = 2

atau

r = U3 : U2
r = 8 : 4
r = 2

Nah, rasio (r) sama.
Berarti ini adalah deret geometri.



Menentukan suku awal dan beda


Kita lihat deretnya lagi..
2, 4, 8, 16, ...

Suku awal (a) = 2
Rasio (r) = 2




Menentukan rumus Un


Untuk mencari rumus Un, tinggal gunakan rumus umum dari deret aritmetika.

Un = a.rn-1

Masukkan a dan r ke dalam rumus

Un = a.rn-1
Un = 2.2n-1

Sampai disana, rumusnya sudah benar. Tapi jika ingin dibuat lebih sederhana lagi, bisa.

Un = 2.2n-1
Un = 2×2n-1
Un = 21×2n-1

  • Jika bilangan pokok, dalam rumus diatas 2, sudah sama, jika dikali maka pangkatnya ditambah

Un = 21+n-1
Un = 2n

Itulah rumus suku ke-n.


Baca juga :

Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 20 sampai 50 adalah..

Karena ditanyakan kelipatan, maka kita harus mencari KPK-nya lebih dulu, sehingga mempermudah perhitungan.



Soal :

1. Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 20 sampai 50 adalah..


Jika bertemu dengan soal seperti ini, maka kita harus menemukan berapa kelipatannya dulu. Kelipatan yang dicari adalah kelipatan 3 dan 4.


  • Kelipatan 3 dan 4 adalah 12


Karena kelipatannya 12, maka kita akan mencari deret dengan beda (b) = 12.




Karena disyaratkan dari 20 sampai 50, kita cari dulu bilangan pertama setelah 20 yang habis dibagi 12 dan bilangan sebelum 50 yang habis dibagi 12.

  • Bilangan pertama setelah 20 yang habis dibagi 12 adalah 24
  • Bilangan terakhir sebelum 50 yang habis dibagi 12 adalah 48.

Deretnya bisa dibuat seperti ini :

24, ..., 48





Yang kosong diatas, bisa kita isi dengan menambahkan 12 setelah suku pertama, yaitu setelah 24.
Sehingga :

24, 36, 48.

Hanya ada tiga bilangan yang habis dibagi 12 atau kelipatan 12 antara 20 sampai 50.



Mencari jumlahnya


Untuk mendapatkan jumlahnya, tinggal tambahkan saja ketiganya.

Jumlah = 24 + 36 + 48
= 108.


Jadi, jumlah kelipatan 3 dan 4 antara  20 sampai 50 adalah 108.



Soal :

2. Jumlah dari kelipatan 2 dan 6 antara 100 sampai 200 adalah..


Kita cari KPK-dulu..

  • KPK dari 2 dan 6 adalah 6


Sehingga deret yang kita cari memiliki beda (b) = 6.



Diminta dari 100 sampai 200. Kita harus menentukan bilangan pertama setelah 100 yang habis dibagi 6 dan bilangan terakhir sebelum 200 yang habis dibagi 6 juga.

  • Bilangan pertama setelah 100 yang habis dibagi 6 adalah 102
  • Bilangan terakhir sebelum 200 yang habis dibagi 6 adalah 198

Diperoleh deretnya :
102, 108, 114,....., 198

Ingat ya!
Beda dari deret diatas adalah 6. 




Mencari jumlahnya


Karena bilangannya banyak, tidak seperti nomor 1, maka kita akan mencari berapa banyak deret tersebut (n).

Data dari deretnya :

  • Suku awal (a) = 102
  • Beda (b) = 6
  • Suku terakhir (Un) = 198

Menggunakan rumus Un, kita bisa mengitung berapa "n".

Un = a + (n-1)b
  • Ini adalah rumus untuk mencari suku ke-n dari deret aritmetika (karena deret ini memiliki beda)

198 = 102 + (n-1)6
  • Untuk membuka kurung, kalikan n dengan 6 dan kalikan -1 dengan 6 juga

198 = 102 + 6n - 6

198 = 102 - 6 + 6n

198 = 96 + 6n
  • pindahkan 96 ke ruas kiri menjadi -96

198 - 96 = 6n

102 = 6n

  • bagi 102 dengan 6 untuk mendapatkan n

n = 102 : 6

n = 17.

Maksudnya, dari 100 sampai 200, adalah 17 bilangan yang habis dibagi oleh 6.





Sekarang datanya sudah lengkap dan kita bisa menghitung jumlah deretnya.

  • Suku awal (a) = 102
  • Beda (b) = 6
  • Banyak deret (n) = 17.

Untuk menghitung jumlahnya, gunakan rumus Sn.

Sn = ½n [2a + (n-1)b]

Sn = ½ × n × [2a + (n-1)b]

Sn = ½ × 17 × [2×102 + (17-1)6]

Sn = ½ × 17 × [204 + (16)6]

Sn = ½ × 17 × [204 + 96]

Sn = ½ × 17 × 300

  • ½ × 300 = 150

Sn = 17 × 150

Sn = 2550


Jadi, jumlah kelipatan 2 dan 6 antara 100 dan 200 adalah 2550.



Baca juga :

Rumus deret aritmetika Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertama?

Jumlah suku pertama berarti yang kita akan menggunakan rumus "Sn". Kita bisa dengan cepat mencari jumlahnya.



Soal :

1. Rumus suatu deret aritmetika adalah Un = 2n + 1. Berapakah nilai jumlah 10 suku pertamanya?


Dalam soal sudah diketahui rumus suku ke-n :

  • Un = 2n + 1



Mencari suku awal (a) dan beda (b)


Untuk mencari suku awal dan beda, kita akan mencari suku pertama, kedua dan ketiga lebih dulu.



Suku awal (U₁)

Un = 2n + 1

U₁ = 2.1 + 1

U₁ = 2 + 1

U₁ = 3

Ingat ya!!
U₁ = a





Suku kedua (U₂)

Un = 2n + 1

U₂ = 2.2 + 1

U₂ = 4 + 1

U₂ = 5




Suku ketiga (U₃)

Un = 2n + 1

U₃ = 2.3 + 1

U₃ = 6 + 1

U₃ = 7.




Sehingga deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 3, 5, 7

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 3

b = 2.

Atau beda juga bisa diperoleh dengan mengurangkan suku ketiga dan kedua, hasilnya sama.





Mencari jumlah 10 suku pertama


Dari perhitungan diatas, kita sudah mendapatkan dua data :

  • suku awal (a) = 3
  • beda (b) = 2

Untuk mencari jumlah 10 suku pertama, kita akan menggunakan rumus berikut :

Sn = ½n [2a + (n-1)b]
  • n = 10, karena yang dicari adalah jumlah 10 suku pertama


Sehingga :

S₁₀ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₀ = ½.10 [2.3 + (10-1)2]

S₁₀ = 5 [6 + (9)2]

S₁₀ = 5 [6 + 18]

S₁₀ = 5 [24]

S₁₀ = 120.


Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 120.




Soal :

2. Hitunglah jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika yang mempunyai rumus Un = 3n - 1!

Rumus deretnya :
  • Un = 3n - 1



Mencari suku awal (a) dan beda (b)


Cari suku pertama, kedua dan ketiga dulu.



Suku awal (U₁)

Un = 3n - 1

U₁ = 3.1 - 1

U₁ = 3 - 1

U₁ = 2




Suku kedua (U₂)

Un = 3n - 1

U₂ = 3.2 - 1

U₂ = 6 - 1

U₂ = 5




Suku ketiga (U₃)

Un = 3n - 1

U₃ = 3.3 - 1

U₃ = 9 - 1

U₃ = 8.




Deretnya menjadi :

U₁, U₂, U₃ = 2, 5, 8

beda (b) = U₂ - U₁

b = 5 - 2

b = 3.




Mencari jumlah 12 suku pertama


Ada dua data yang sudah diperoleh, yaitu :

  • suku awal (a) = 2
  • beda (b) = 3

Masukkan ke dalam rumus "Sn"


Sn = ½n [2a + (n-1)b]
  • n = 12, karena yang dicari adalah jumlah 12 suku pertama

Sehingga :

S₁₂ = ½n [2a + (n-1)b]

S₁₂ = ½.12 [2.2 + (12-1)3]

S₁₂ = 6 [4 + (11)3]

S₁₂ = 6 [4 + 33]

S₁₂ = 6 [37]

S₁₂ = 222

Sehingga, jumlah 12 suku pertama adalah 222.


Baca juga ya :

Diketahui Tiga Suku Pertama Deret Aritmetika (x+1), (3x-1), (2x + 4). Berapakah Suku ke-5 dan Suku ke-7?

Mengingat soalnya masih terdiri dari variabel x, maka kita harus menemukan dulu berapa nilai yang pas untuk variabel ini.


Langsung saja kita kerjakan..


Soal :

1. Tiga suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah (x+1), (3x-2), (2x+4). Berapakah nilai dari suku ke-5 dan suku ke-7?


Ketika bertemu dengan soal seperti ini, kita bisa menggunakan salah satu sifat dari deret aritmetika, yaitu bedanya.


Beda dari sebuah deret aritmetika selalu sama



Mencari x


Data dari soal sebagai berikut :

  • U₁ = x +1
  • U₂ = 3x - 2
  • U₃ = 2x + 4

Ingat!!
Beda dari deret tersebut bisa dicari dengan menggunakan rumus :

beda (b) = U₂ - U₁ atau U₃ - U₂

Karena bedanya (b) bernilai sama, maka :

U₃ - U₂ = U₂ - U₁

(2x + 4) - (3x -2) = (3x - 2) - (x +1)
  • untuk membuka kurung -(3x -2) kalikan (-) dengan 3x hasilnya -3x, kalikan (-) dengan (-2) hasilnya +2
  • kemudian, untuk membuka -(x+1) kalikan (-) dengan x hasilnya -x dan kalikan (-) dengan +1 hasilnya -1
  • untuk (2x+4) dan (3x-2) langsung dibuka saja karena tidak ada tanda di depannya atau bertanda positif.

2x + 4 -3x + 2 = 3x - 2 -x - 1

-x + 6 = 2x -3
  • pindahkan 2x ke ruas kiri menjadi -2x
  • pindahkan 6 ke ruas kanan menjadi -6

-x - 2x = -3 - 6

-3x = -9

  • agar mendapatkan x, bagi -9 dengan -3

x = -9 : -3

x = 3.





Mencari nilai masing-masing suku


Sekarang kita bisa mencari berapa nilai dari masing-masing suku tersebut..


U₁ = x +1

  • ganti x = 3
U₁ = 3 +1

U₁ = 4




U₂ = 3x - 2

  • ganti x = 3
U₂ = 3.3 - 2

U₂ = 9 - 2

U₂ = 7



U₃ = 2x + 4

  • ganti x = 3
U₃ = 2.3 + 4

U₃ = 6 + 4

U₃ = 10



Deret tiga suku pertama adalah (4, 7, 10)




Mencari beda


Untuk mendapatkan beda, tinggal kurangkan saja suku ke-2 dengan suku ke-1

b = U₂ - U₁

b = 7 - 4

b = 3


Atau

b = U₃ - U₂

b = 10 - 7

b = 3


Sehingga diperoleh bedanya (b) = 3.



Mencari suku ke-5


Rumus untuk mendapatkan suku ke-n adalah :

Un = a + (n-1)b

Dari hasil perhitungan diatas sudah diperoleh bahwa :

  • tiga suku pertama adalah 4, 7, 10
    sehingga suku awal (a) = 4
  • beda (b) = 3

Sekarang kita bisa menghitung suku ke-5


U₅ = a + (n-1)b

U₅ = 4 + (5-1)3

U₅ = 4 + 4.3

U₅ = 4 + 12

U₅ = 16





Mencari suku ke-7


Un = a + (n-1)b

  • U₇ artinya n = 7
  • a = 4
  • b = 3

U₇ = 4 + (7-1)3

U₇ = 4 + 6.3

U₇ = 4 + 18

U₇ = 22


Jadi, sudah diperoleh nilai dari suku ke-5 dan ke-7 yaitu 16 dan  22.



Baca juga ya :

Jumlah Suku ke-2 dan ke-3 Deret Geometri 18, Jumlah Suku ke-3 dan ke-4 = 36. Berapakah Suku ke 5?

Masing-masing suku diganti dengan rumusnya sendiri-sendiri, sehingga kita bisa mendapatkan persamaan.

Persamaan yang bisa kita gunakan untuk mencari suku awal dan rasio.


Berikut adalah contoh soalnya :


Soal :

1. Jumlah suku ke-2 dan ke-3 suatu deret geometri adalah 18. Sedangkan jumlah suku ke-3 dan ke-4 adalah 36.

Berapakah suku ke-lima?


Kita lihat penjumlahan yang pertama.



Jumlah suku ke-2 dan ke-3 = 18


Rumus suku deret geometri adalah :

Un = a.rn-1

Kemudian kita bisa mencari suku ke-2.

U₂ = a.r2-1

U₂ = a.r1

U₂ = a.r ....①



Un = a.rn-1

U₃ = a.r3-1

U₃ = a.r² ....②



Kemudian :

U₂ + U₃ = 18

  • ganti U₂ sesuai persamaan ①
  • ganti U₃ sesuai persamaan ②

ar + a.r² = 18

  • untuk ruas kiri difaktorkan, sehingga bisa dikeluarkan "ar"

ar (1 + r) = 18 

  • pindahkan ar ke ruas kiri menjadi pembagi













Jumlah suku ke-3 dan ke-4 = 36



Un = a.rn-1

U₃ = a.r3-1

U₃ = a.r² ....④


Un = a.rn-1

U₄ = a.r4-1

U₄ = a.r³ ....⑤




U₃ + U₄ = 36


  • ganti U₃ dengan hasil pada persamaan ④
  • ganti U₄ dengan hasil pada persamaan ⑤

ar² + ar³ = 36

  • faktorkan yang diruas kiri dengan mengeluarkan ar²

ar²(1 + r) = 36 ...⑥



Mencari nilai "a" dan "r"


Sekarang kita akan menggunakan persamaan ③ dan ⑥

ar²(1 + r) = 36 ...⑥


  • Masukkan persamaan ③ dan ganti 1+r



Cara :

  • "a" dicoret dengan "a" dan hilang
  • r² dibagi r, sisa r

r = 2.







Setelah mendapatkan "r", kita bisa mencari "a" menggunakan persamaan ⑥

ar²(1 + r) = 36

  • ganti r = 2


a.2²(1 + 2) = 36

4a (3) = 36

12a = 36

  • Untuk mendapatkan a, bagi 36 dengan 12

a = 36 : 12

a = 3.





Mencari suku ke-5


Rumus mencari suku pada deret geometri adalah :

Un = a.rn-1


Dan kita bisa mencari suku ke-5

U₅ = a.r5-1

U₅ = a.r⁴


  • ganti a = 3
  • ganti r = 2

U₅ = 3.2⁴

U₅ = 3.16

U₅ = 48


Jadi diperoleh U₅ = 48


Baca juga ya :